Los intelectuales

Estoy convencido de que la influencia de los llamados intelectuales en nuestra sociedad es cada día menor, y de que cada día que pase se hará sentir menos.

Hoy estamos en la era de las telecomunicaciones, y los que más influencia poseen en la formación de la opinión pública son los “mass media”. Quien domine estos medios formará a su antojo a la opinión pública, y con ello se convertirá en su amo. Los mercenarios de los medios de comunicación de masas han sustituido al intelectual en la formación de la opinión, relegando a éste a sus libros y despojándolo de su papel de proyectar luz en la oscuridad, iluminando por igual cualquier zona de la estancia.

Una característica del intelectual debería ser su afán insobornable por encontrar la verdad y comunicarla, no vendiendo su capacidad al mejor postor.

 En España la figura del intelectual por antonomasia es la de Ortega, hasta el punto que no había conferencia que se preciara que no incluyera una o varias citas del filósofo. Eso llegaba a ser más importante que la propia conferencia, por lo que no resultaba infrecuente citarlo fuera de contexto. ¡Pero qué bien quedaba uno!.

 Va siendo hora de que intentemos responder a la pregunta de qué entendemos por intelectual. Utilizaremos la figura de Ortega para este menester porque casi nadie duda de que este ilustre personaje lo fuera.

 Un intelectual puede ser un especialista en algo, pero cuando ejerce la función de intelectual no lo hace como especialista. Si así fuera cualquier especialista podría ser tildado de intelectual en el ejercicio de sus funciones.

 El intelectual aborda temas de carácter multidisciplinar, y procura buscar un enfoque propio para los mismos, sin que la originalidad pueda, en ningún caso, ser un sustituto de la verdad.

 El contenido de los temas puede ser actual o pretérito, pero el enfoque siempre añade elementos novedosos a la cuestión, proyectando una nueva luz sobre los mismos.

El intelectual pretende influir en la sociedad de la que forma parte, aunque no siempre lo consiga. Esa vocación de apostolado del intelectual lo diferencia del mero erudito o del sabio solitario.

Debe estar pertrechado de un gran bagage de conocimientos, los cuales, unidos a la audacia y la perspicacia, le servirán para proyectar luz sobre cuestiones confusas y que áun permanecen en la sombra.

Su vocación de encontrar la verdad lo diferencia del propagandista y del mercenario, ya que estos últimos sólo sirven a sus intereses o a sus mecenas.

 Su deseo de influir y ser oído es una aspiración noble, pedagógica, no sujeta a intereses mezquinos.

Un error que ha caracterizado a no pocos intelectuales es abandonar su ámbito multidisciplinar para inmiscuirse, casi siempre sin éxito, en el terreno de los especialistas. Error al que no fue ajeno Ortega.

La verdadera influencia del intelectual, de aquel que propugna un nuevo enfoque, es directamente proporcional a la capacidad de los hombres de acción que deciden aplicar su enfoque. Sin ellos, el intelectual no pasaría de ser un diletante más o menos ingenioso.

Hoy en día, en la era de la información, el intelectual que separe la paja del trigo y contribuya a eliminar tanto desconcierto debería ser bien recibido. Son muy pocas las voces serias que se alzan por encima de tanto desatino, y cuando ocurre suelen ser silenciadas.

El intelectual actual, en la era de los medios de comunicación, es aprovechado de forma puntual por los grandes medios para apoyar con su prestigio la línea editorial de éstos. Por eso, algunos de los pocos que nos quedan se convierten en mecenas involuntarios de los diferentes grupos mediáticos.

Las sociedades menos cultas tenderán a dejarse influir más y más por los mercenarios, y cada vez menos por los intelectuales. Éstos sólo encontrarán algún hueco en las sociedades cultas y desarrolladas, simpre amenazadas por el ansia de control de los grupos mediáticos, interesados en influir más y más, aún a costa de transformar una sociedad de ciudadanos en otra de súbditos.

Fermat versus Gödel

Fermat fue un jurista y matemático francés del S.XVII que hizo importantes aportaciones a la matemática, entre otras a la geometría analítica y a la teoría de probabilidades, teoría esta última que contribuyó a crear junto con su compatriota Blaise Pascal. Sin embargo, su fama mundial como matemático se debe a su famosa conjetura, que establece que no es posible encontrar 3 números enteros que cumplan la siguiente igualdad:

xⁿ + yⁿ = zⁿ, para cualquier n > 2.

 Además, afirmó que había encontrado la demostración pero que no le cabía en el margen.

Gödel fue, quizás, el lógico más importante de todos los tiempos. Su famoso teorema de incompletitud establece que ningún sistema formal suficientemente expresivo ( como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la aritmética ) puede ser, a su vez, consistente y completo. Si es consistente ( no contradictorio ) siempre habrá proposiciones en el sistema sobre las que no se pueda afirmar su veracidad o falsedad.

Esto fue todo un mazazo, en su época, para el programa de Hilbert que pretendía desarrollar algoritmos para demostrar todos los teoremas en un sistema formal. Al principio de incertidumbre de  la física, de Heisenberg, se le sumaba ahora otra incertidumbre en la axiomática matemática. Además, Gödel, para no dejar opción a los intuicionistas, encabezados por Brouwer, en su demostración utilizó un método constructivo, creando una proposición cuya verdad o falsedad no se podía demostrar en el sistema.

 En el año 1995 Andrew Wiles consiguió demostrar el teorema de Fermat, utilizando métodos matemáticos muy complejos que eran desconocidos en la época de Fermat.

 Cabría preguntarse si sobre Wiles, que tantos años le dedicó al teorema, y por el que le concedieron la medalla Fields, el equivalente al Nobel de Matemáticas, que se concede cada 4 años, planeó en algún momento la sombra de Gödel. ¿Se preguntaría Wiles si se estaría enfrentando a un indecidible de Gödel, a algo que nunca se podría demostrar?

Peor aún: ¿ Se preguntaría Wiles si llegaría alguien que demostrara que la conjetura de Fermat era un indecidible de Gödel ?. Si así fuera todo su trabajo de tantos años quedaría arruinado, e incluso podría quedar en ridículo ante la comunidad matemática internacional.

 Por fortuna se puede demostrar que esto último nunca podría haberse hecho, con lo que Wiles podía andar tranquilo en este sentido.

 Lo más impresionante de todo es que, en este tema tan abstruso, el lector tiene la última palabra, y a él le corresponde demostrarlo. Además, de una forma bien sencilla,  y sin ningún conocimiento técnico.

Como siempre, esta curiosa cuestión la demostraremos en otro escrito de este blog.

Cerebro y Lógica

La pregunta, a cuya respuesta nos queremos aproximar en este escrito es la siguiente:

¿Nuestra Lógica es un producto de nuestro cerebro?  Dicho de otro modo: ¿otros cerebros inteligentes podrían desarrollar otras Lógicas?

 Sabemos que nuestro cerebro ha desarrollado varias Lógicas: la Lógica binaria, la difusa, la probabilística, y otras. Sin embargo, aquí, para discernir y poder encontrar una respuesta a nuestra pregunta debemos preguntarnos por la naturaleza de la Lógica Formal.

No resulta concebible que otros seres inteligentes - supongamos, por el momento, que entendemos lo que queremos decir con “inteligentes” -, y que entendieran nuestro lenguaje, tuvieran otra Lógica que les permitiera concluir que “el caballo blanco de Santiago debe ser negro”, ni que ” esto es un hombre y no es un hombre” es verdadero.

 Estos ejemplos, que se podrían multiplicar, muestran que la Lógica es algo íntimamente vinculado al lenguaje que la desarrolla.

 Recuerdo que había otro principio de la Lógica aristotélica que establece que “el todo es mayor que la parte”. No creo, sin embargo, que esto sea un principio lógico - aunque lo pueda parecer -, sino empírico. De hecho, no se cumple para conjuntos infinitos, pues sabemos que el conjunto de los números pares, por ejemplo, se puede poner en correspondencia biunívoca con el de los números naturales.

 Si entendemos la Lógica como un producto no contingente, sino como un producto necesario de nuestro lenguaje, la pregunta queda reducida a  si los diferentes tipos de lenguaje pueden producir Lógicas contradictorias entre sí.

 Pero: ¿Qué es primero: la Lógica, o el lenguaje?. ¿Acaso es posible estructurar un lenguaje sin una Lógica previa?. O, ¿ se van haciendo el uno al otro, la Lógica al lenguaje y el lenguaje a la Lógica?

Sea como fuere, los diferentes lenguajes deben poseer una estructura linguística que subyace a los mismos, y que debe ser el objeto del estudio de la lingüística. Esto lo afirmo con algún riesgo, porque mis conocimientos de linguística son muy escasos. Creo también que cualquier lenguaje, suficientemente expresivo, debe ser capaz de desarrollar una Lógica, y que las Lógicas desarrolladas por lenguajes diversos no son sólo compatibles, sino superponibles en muchos aspectos.

 Creo, por tanto, y resumiendo, que la Lógica es un producto universal de cualquier cerebro capaz de desarrollar un lenguaje, y no algo contingente a un cerebro o a un lenguaje concreto.

 Por supuesto, algunos lenguajes me parecen más apropiados para desarrollar contenidos lógicos que otros. En este sentido el idioma inglés me parece mejor estructurado para la Lógica que el español, por ejemplo, aunque por ser ambos suficientemente expresivos habrían desarrollado la misma Lógica, aunque no hubiera habido contacto alguno entre ambas lenguas. Un marciano inteligente, ídem de ídem, aunque su física, su matemática y todo lo demás difiriera en todo de lo nuestro.

El cerebro, producto de la evolución y de la adaptación al medio, sería el hardware, la Lógica sería el sistema operativo obligado - más o menos como el Windows de Microsooft -, y todos los demás contenidos de la mente serían los programas.

Martin Gardner

Tuve noticias de Martin Gardner hace muchos años, por medio de un amigo, cuyo padre estaba suscrito al Scientifican American. Por aquel entonces Gardner dirigía la sección de matemáticas de la revista, y mi amigo, puntualmente, me planteaba periódicamente aquellos desafíos que, si no recuerdo mal, venían resueltos en el próximo número. Todos eran problemas amenos e interesantes, y algunos no desprovistos de dificultad.

Posteriormente, compré algunos libros del autor, varios de los cuales recogían problemas propuestos en su etapa como director de dicha sección en la revista.

Su faceta como divulgador de la matemática, o en la matemática recreativa, si lo preferimos, es la más conocida, pero tiene libros de otra especie. Uno de ellos, muy divertido, es éste: ” La Ciencia: Lo bueno, lo malo y lo falso”. Otro, que me parece extraordinario es sobre la teoría de la relatividad, una de las mejores divulgaciones que he leído sobre el tema. En su prólogo nos dice que este libro se lo planteó como un reto.

La matemática recreativa, aparte de servir de estrategia para acercar la matemática a los profanos, puede ser una matemática de enjundia, y algunos de los matemáticos más grandes han dedicado su tiempo a ella. Hoy hay muchos que cultivan el género, algunos con notable éxito, pero Gardner fue el pionero de todos ellos.

Como homenaje a él propongo este problema, que propuso durante su paso por Scientifican American:

Unos exploradores se encuentran un mapa con unas instrucciones para encontrar un tesoro en una isla. En el mapa están señalados dos árboles A y B, y un pozo. Para encontrar el tesoro uno ha de situarse en el pozo, y caminar desde allí hasta el árbol A. A continuación debe girar en ángulo recto y andar la misma distancia que separaba el pozo de A. Allí debe colocar una estaca. A continuación debe volver al pozo, y caminar esta vez hasta el árbol B, para a continuación girar en ángulo recto hacia la izquierda y andar la misma distancia que separaba el pozo de este árbol. Allí debe colocar otra estaca. En el punto medio del segmento que separa las dos estacas está el tesoro.

Los exploradores se dirigieron a la isla, y encontraron los árboles A y B a los que hacía referencia el mapa, pero el pozo se habría secado y no había ni rastro de él. Entre los exploradores no había ningún matemático, y tuvieron que volverse desesperanzados.

¿Sería usted capaz de encontrar el tesoro al que hacía referencia el mapa?

AXIOMÁTICA Y SISTEMAS FORMALES

De mis primeros escarceos geométricos recuerdo que se definía la palabra axioma como “aquellas verdades evidentes por sí mismas”. No me he tomado la molestia de comprobar la definición del D.R.A.E. pero no tiene relevancia para este artículo; el lector interesado puede consultarlo por sí mismo y, a la luz de este artículo, comprobar si se trata de una definición ajustada. Esa definición de nuestros primeros estudios habla de “verdades”, y también de “evidentes por sí mismas”.

En una primera aproximación tiendo a pensar que las “verdades” han de ser comprobables o verificables, con lo cual los axiomas debieran referirse a cuestiones empíricas; sin embargo un enunciado como “todos los quaks negros son negros” ha de ser verdadero, existan o no existan los quaks, puesto que su verdad no depende de su comprobación, sino de la estructura gramatical del enunciado; a saber: el predicado es parte del sujeto.

Así pues, las “verdades” aparte de referirse a enunciados verificables también pueden hacer referencia a lo que podríamos llamar “verdades lógicas”. No es el objeto hablar aquí de lo que entendemos por este concepto pues nos desviaríamos del objeto del presente artículo, pero sí señalar que son enunciados tautológicos, es decir, necesariamente verdaderos, mientras que los enunciados empíricos – los verificables – serán contingentemente verdaderos; es decir su verdad deriva de su comprobación efectiva, mas no de ningún principio metafísico que lo haga necesariamente verdadero. Establecida esta diferencia – esencial a mi juicio – entre verdades contingentes y verdades necesarias analizamos la segunda parte de la definición.

Cuando se nos dice “evidentes por sí mismas” se supone que se nos está diciendo que cualquier persona puede ver la verdad de estos enunciados por inmediatos que aparecen a la “inteligencia”. Baste con decir que lo que es evidente para ti, lector, puede no serlo para mí, y viceversa; esto implica un componente de subjetivismo que impregna la definición.

El V postulado de Euclides, enunciado en su forma original, no es precisamente un modelo de evidencia. Precisamente lo complicado del mismo hizo pensar a muchos matemáticos que se trataba de un teorema, por lo que se realizaron numerosos intentos, infructuosos, para demostrarlo. Estos desarrollos, como veremos más adelante, desembocaron en las geometrías no euclídeas

Una vez señaladas las deficiencias de la definición antigua de axioma quisiera hacer un paréntesis para referirme brevemente a la historia. Es bien sabido que el primer gran sistematizador de la geometría fue Euclides. Los egipcios ya tenían conocimientos geométricos dispersos -todos ellos con una orientación eminentemente práctica-, utilizados principalmente para la determinación de áreas de tierras que quedaban borradas por las periódicas inundaciones del Nilo. 

Si bien Euclides sistematizó y axiomatizó estos conocimientos, dándoles un carácter formal, él pensaba que su geometría reflejaba las propiedades del mundo real; en ningún momento trató de crear un exclusivo juego de conceptos lógicos.

Definió conceptos como “punto”, “recta” y “plano” para, a continuación, enunciar los “axiomas” que relacionaban estos conceptos. Es decir, para Euclides, sus axiomas eran verdades evidentes por sí mismas sobre unos conceptos previamente definidos. Todo aquel que entendiese, por “punto” y por “recta”, lo mismo que Euclides parecía razonable que aceptase como verdadero el axioma de que “por dos puntos pasa una única recta”. Los axiomas de Euclides pretendían describir las propiedades de nuestro espacio de una forma “evidente” y sistemática. Fue tal el éxito de este desarrollo que su libro, “Elementos de Geometría”, fue todo un paradigma de modelo de conocimiento, hasta el punto de que en el mundo antiguo – prácticamente hasta Galileo – el método experimental estuvo muy desprestigiado aunque lógicamente existieron honrosas excepciones.

Cualquier historiador de la Ciencia considera este libro como uno de los grandes hitos del pensamiento.

Antes de seguir avanzando por esta senda que nos hemos trazado es preciso hacer un paréntesis obligado, y decir algunas palabras sobre el concepto de definición.

Existen diferentes formas de definir algo; una es la que se utiliza cuando consultamos un diccionario: el concepto definido se delimita en función de otros conceptos ya conocidos. Es la forma común de aprender nuevos conceptos cuando somos adultos; es la llamada definición verbal. Obviamente este proceso no se puede llevar hasta el infinito, y habrá un conjunto de conceptos básicos que tendrán que ser aprendidos sin el diccionario. Es el modo de aprendizaje de los niños, los cuales no conocen palabra alguna, y todo les debe ser mostrado de forma que asocien un sonido a una imagen. Es la llamada definición ostensiva.

Euclides dio una definición verbal de punto, recta y plano; así, recta era “ una serie de infinitos puntos alineados”. Definir “recta” en función de “alineados” y de “infinito” es trasladar el problema de lo definido a la definición. Por otra parte, si “definir” supone delimitar de forma precisa la naturaleza de lo definido, la definición nos permite un exacto conocimiento de lo definido. En este sentido, pues, los axiomas serían una consecuencia lógica de las definiciones y tendrían el carácter de teoremas. Es decir: si todo quedara definido desde el principio los axiomas sobrarían, pues se podrían deducir de las definiciones.

Dado que no es posible definirlo todo en forma verbal habrá que tomar unos conceptos como “primitivos”, en el sentido de no definidos explícitamente, no definidos verbalmente.

El sistema que empleó Euclides adolecía de dos defectos, a saber: haber intentado una definición explícita de conceptos “primitivos”, no reductibles a conceptos más simples, y proponer axiomas sobre conceptos previamente definidos. Esto, sin embargo, no debe restarle grandiosidad a su obra.

La axiomática moderna evita definirlo todo – por imposible -, y adopta una serie de conceptos “primitivos” que no define explícitamente. Relaciona estos conceptos mediante una serie de relaciones – axiomas -, y serán éstas las que constituirán una definición implícita de aquéllos. En esta nueva versión sí son necesarios los axiomas, pues la carencia de definición verbal previa de los conceptos no ha caracterizado aún su naturaleza; serán los axiomas los que nos caractericen aquellos entes que puedan ocupar el lugar de los conceptos “primitivos”. Dicho de otra forma: aquellos entes concretos que, sustituyendo a los conceptos “primitivos”, verifiquen las relaciones expresadas en los axiomas constituirán un “modelo” del sistema axiomático.

Podríamos decir que los axiomas no “definen” unos entes concretos, unos conceptos “primitivos” concretos, sino toda una serie de entes o de conceptos “primitivos”. Los axiomas no versan sobre nada concreto, sobre nada definido explícitamente, sino sobre una “vaguedad” de conceptos “primitivos” restringidos exclusivamente por las propiedades que los axiomas enuncien. ¿De qué estamos hablando entonces? No lo sabemos.

Esta abstracción progresiva de las matemáticas y de los sistemas axiomáticos hizo exclamar a Bertrand Russell: “La matemática es la ciencia en la que no se sabe de qué se habla ni siquiera si lo que se dice es verdadero”. Y así es, en efecto. Si encontramos un modelo para nuestros axiomas entonces, y sólo entonces, podremos saber de qué hablamos y, eventualmente, verificar si los resultados son verdaderos.

A continuación vamos a establecer los rudimentos de un sistema axiomático para plasmar lo explicado anteriormente.

1º. “Gomy” es un “guelfo”.
2º. A todo “guelfo” le corresponde un único “guelfo”.

3º. Si dos “guelfos” son iguales y son los correspondientes de otros dos “guelfos” , éstos también son iguales.

4º. Gomy” no es el correspondiente de ningún “guelfo”.

5º. Si tenemos un conjunto al que pertenece “Gomy” y al que pertenece el correspondiente de un “guelfo” siempre que el “guelfo” pertenezca al conjunto, ese conjunto es el conjunto de los “guelfos”.

Este aparente galimatías establece relaciones entre “guelfos” y “Gomy”, que serían los conceptos “primitivos”. La relación “corresponderse” también queda indefinida; “dos” e “iguales” también guardan su sentido habitual, a no ser que se especifique algo en contra.

Si sustituimos “guelfo” por ladrillo, “Gomy” por primer ladrillo, “corresponderse” por estar situado encima en la misma posición, “dos” por su sentido habitual, e “igual” por ser el mismo ladrillo, los axiomas quedarían así:

1º Todo ladrillo tiene encima un ladrillo.
2º Hay un ladrillo al que llamamos primer ladrillo.
3º Si dos ladrillos son el mismo ladrillo, los ladrillos a que corresponden éstos también son iguales
4º El primer ladrillo no está encima de ningún otro ladrillo.
5º Un conjunto al que pertenece el primer ladrillo y al que pertenece el ladrillo de encima cuando pertenece un ladrillo dado es el conjunto de los ladrillos.

Como vemos, una pila vertical infinita de ladrillos constituiría un modelo de nuestro sistema axiomático.

De igual forma, los números 1,2,3,4,5,6,7,8,………, es decir, la aritmética de números naturales, sería otro modelo válido de nuestro sistema axiomático.

También 7,8,Pepe,9,10,11,12,Juan,13,14,15,16,17,18,19,20.

Sin embargo 1,2,3,4,5,6,7,8,8,9,10,11,12,13,14,………, no valdría, pues violaría el 3º axioma.

Un sistema axiomático como el anterior tiene una infinitud de modelos. La enorme abstracción del sistema axiomático nos brinda la oportunidad de aplicar al modelo los resultados – teoremas – demostrados para el sistema. La cuestión de si un sistema axiomático es verdadero o no, carece de sentido. A un sistema axiomático, como veremos más tarde en detalle, le son aplicables los calificativos de completo o incompleto, consistente o inconsistente. La cuestión de si es verdadero o no – en el sentido de verificable en nuestro mundo -, depende de que el modelo se ajuste más o menos perfectamente a los axiomas. La geometría euclídea no es ni más verdadera, ni más falsa, que la de Lobachebsky o Riemann; será más o menos aplicable a nuestro espacio real, según que los axiomas de una o de otra geometría se adapten más o menos a nuestro universo.

Puede ser que un modelo escogido, entre los muchos posibles, no sea el adecuado, y otro sí lo sea. En nuestro sistema anterior, y a los propósitos de contar, el 1,2,3,4,5,6,7,…….., se muestra mucho más apropiado que la pila de ladrillos, aunque ésta también cumpla – como vimos – los axiomas.

El motivo de haber elegido términos como “guelfo” o “Gomy” para designar a los conceptos primitivos es para aislar la mente del lector de cualquier palabra que pudiera resultarle familiar; de esta manera será de esperar que asigne a los conceptos “primitivos” únicamente aquellas propiedades autorizadas por los axiomas, eliminando las connotaciones conocidas que pudieran tener otros términos comunes. 

Solamente unas breves palabras para exponer las ideas históricas que subyacen al nacimiento de las geometrías no euclídeas. Euclides enunció su V axioma en una forma bastante complicada – este axioma es el equivalente a que “por un punto exterior a una recta pasa sólo una paralela -, y este fue el motivo por el que muchos matemáticos pensaron que quizá fuese un teorema, es decir, que se podría demostrar a partir de los anteriores. Numerosos intentos, en este sentido, resultaron infructuosos, por lo que cada vez fue apareciendo más clara la idea de que en realidad se trataba de un axioma. Si fuera un axioma – pensaron – podemos cambiarlo por otro que diga otra cosa y no aparecerá contradicción alguna. Si fuera un teorema, tarde o temprano tendría que aparecer alguna contradicción. Podemos elegir un axioma que diga que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela, o también otro que dijera que pasan infinitas paralelas.

Si se ha comprendido todo lo explicado anteriormente estos axiomas no deben resultar más disparatados que el axioma de Euclides – el que dice que sólo pasa una paralela -. En efecto, puesto que los axiomas son los que definen – implícitamente – a los conceptos “primitivos”, si cambiamos los axiomas, los conceptos “primitivos” que satisfagan a éstos también deberán cambiar. Los axiomas nos resultarán disparatados si seguimos pensando en la imagen visual de “punto”, “recta” y “plano” que satisfacen los axiomas de Euclides. Si pensamos en otro modelo diferente que satisfaga los nuevos axiomas ya no habrá nada disparatado. El hecho de encontrar un modelo para el nuevo sistema de axiomas nos asegura la consistencia del sistema - la no contradicción -, puesto que si hubiese contradicción no podría existir el modelo. Algo que existe no puede ser contradictorio, por el mero hecho de existir. Luego, si encontramos un modelo para el nuevo sistema – con el V axioma modificado – esto significará que dicho axioma no era un teorema, puesto que si así fuera el sistema sería contradictorio y no podría haberse encontrado modelo algunoTanto la geometría de Lobachebsky – no pasa ninguna paralela – como la de Riemann – pasan infinitas paralelas – han encontrado modelos que la satisfacen, por lo que son consistentes – no contradictorias -.

No vamos a entrar en detalles que nos alejarían del objeto del artículo, pero sí señalar que para los modelos en cuestión los entes que ocupan el lugar de los conceptos “primitivos” no tienen nada que ver con el “punto”, “recta” y “plano” al que estamos acostumbrados.

Es frecuente encontrar en los libros de divulgación científica que para Einstein el espacio real es riemanniano. ¿Qué se nos quiere decir con esto? Obviamente, las propiedades que tenga o deje de tener eso que llamamos “espacio real” tendrán que venir dictadas por la observación. Los sistemas axiomáticos son ajenos a la observación y no tienen que ser un reflejo de este “espacio real”. Ahora bien, como dijimos al hablar de los modelos, determinados entes del espacio físico se pueden acomodar más a las propiedades de un espacio de Riemann que a un espacio de Euclides. Estos entes ocuparían el lugar de los conceptos “primitivos” y, en este sentido, solamente en éste, podremos decir que el “espacio real” es riemanniano. Es decir, elegidos ciertos entes del espacio físico, parece ser que el “espacio real” constituye un modelo más adecuado de espacio de Riemann que de Euclides. Esto pertenece al campo de la observación y al campo de la física, y bien pudiera ser que mañana se viera que el mundo real se adapta mejor a otro tipo de espacio, sin que esto afectara para nada a los espacios de Riemann.

Esta especie de circunloquio, en la que repito de diversas formas la misma idea – aún a riesgo de resultar reiterativo -, es un recurso de utilidad cuando uno pretende que lo entiendan; expresar de múltiples formas una idea – por lo general compleja – facilita que más personas sean capaces de captar lo que se expresa, pues lo que para unos resulta ser una expresión feliz y acertada no lo es para otros. Todo sistema axiomático debiera reunir, al menos, dos condiciones para que resultase lógicamente impecable: ser consistente y ser completo. Se dice que un sistema axiomático es consistente cuando es lógicamente no contradictorio, o lo que es lo mismo, cuando las proposiciones p y no p no pueden coexistir en el sistema.

Decimos que un sistema es completo cuando cualquier enunciado sobre conceptos “primitivos”, o sobre conceptos definidos a partir de éstos, puede ser demostrada en el sistema, o, expresado de otra forma, cuando cualquier proposición sobre los conceptos del sistema es, o bien un axioma, o bien un teorema. A principios del S. XX, el más famoso matemático de la época, David Hilbert, se propuso la difícil tarea de encontrar un sistema que permitiese la demostración de cualquier teorema, en la creencia de que esto era siempre posible – demostrarlo todo -.

Gödel demostró que tal propósito era imposible y que cualquier sistema axiomático suficientemente expresivo – tal cual la aritmética o la teoría de conjuntos –, para ser consistente ha de ser incompleto, en el sentido de que habrá proposiciones, indecidibles, que no podrán ser demostradas en el sistema. 

Sistemas axiomáticos más simples, como la Lógica de enunciados de Principia Mathematica, de Russell y Whitehead, como también demostró Emile Post, sí son al tiempo consistentes y completos. Asimismo, en 1920, Hilbert y Ackerman demostraron que la lógica de predicados de Principia Mathematica era consistente, demostrando Gödel en 1930 que tal sistema era, asimismo, completo.

Hemos tratado, de forma muy condensada, temas de suficiente complejidad como para requerir un esfuerzo por parte del lector, y hemos omitido todo el simbolismo inherente al tratamiento de estos temas para facilitar la comprensión conceptual. El tratamiento detallado de sistemas axiomáticos exige la utilización de símbolos que permita expresar las fórmulas del sistema. Este tratamiento, obligado al analizar sistemas concretos, hacen que el hombre culto con deseos de entender rehuya estas lecturas. Para terminar puntualizaré de forma concisa los elementos que debiera reunir todo sistema axiomático. Un sistema axiomático S bien diseñado debe cumplir los siguientes requisitos:

Una lista de las letras y demás símbolos a utilizar en S. Una serie de reglas que establezcan qué complejos de signos son enunciados bien formados en S. Una lista completa de aquellos enunciados bien formados en S que van a ser utilizados como axiomas. Una lista completa de las definiciones utilizadas en el sistema. Una exposición de las condiciones necesarias que debe reunir una demostración, dando por resultado un teorema en S. Una lista completa de las reglas de deducción en S, reglas que determinarán y limitarán los movimientos u operaciones a realizar con los enunciados bien formados de S. En el caso de que puedan utilizarse en S los teoremas de alguna otra rama de la lógica o la matemática, deberá haber una estipulación que así lo especifique.

Hoy en día la mayor parte de las grandes ramas de la matemática se hallan axiomatizadas, y este método ha alcanzado un éxito sin precedentes pues su enorme abstracción le concede una enorme generalidad. Cualquier demostración realizada, por ejemplo, en teoría de grupos, se puede aplicar a la infinidad de modelos de grupo existentes.

Ahora sí acabo, de verdad, para señalar que he procurado en este artículo poner al alcance de los lectores de una forma rigurosa y clara, alejada de los tecnicismos propios de la materia, un tema que es a la vez importante y complejo. Espero haber conseguido, al menos en parte, mi objetivo

Un problema impactante

Fue en el 6º curso de bachiller. Estudiábamos en un colegio de marianistas de Cádiz: San Felipe Neri. Los mayores - así llamábamos entonces a los alumnos de más edad - nos lo anunciaron: “el profe de matemáticas de este curso es muy duro”.

 Con esas expectativas comenzamos el nuevo curso. Hoy, visto retrospectivamente, no me cabe la menor duda que las matemáticas empezaban con ese curso. El contenido del curso hablaba por sí mismo, pues se impartiría geometría analítica, límites, derivadas e integrales indefinidas y definidas.

 El profesor era un sacerdote marianista, licenciado en Exactas, y altamente estimulante. De vez en cuando, y de forma escogida, proponía lo que él llamaba “problemas de la casa”, aquellos que por su originalidad o dificultad merecían una mención especial. El hecho es que consiguió transmitirme esa emoción especial por la belleza sobria del pensamiento matemático, emoción que aún perdura. Su nombre, el nombre de ese magnífico profesor es Valentín, y verdaderamente hizo honor a su nombre, pues me hizo experimentar un flechazo por su asignatura que siempre le agradeceré.

Hoy, a mi hijo, en 2º de la ESO, le dan por separado matemáticas y geometría, con el resultado de que cree que son cosas completamente distintas. Las matemáticas son números y operaciones, y la geometría dibujitos. Le acaban de explicar el teorema de Pitágoras, y como aún no han resuelto ecuaciones elementales le han hecho aprenderse de memoria cuatro fórmulas: una para calcular un cateto, otra para calcular el otro cateto, otra para calcular la hipotenusa, y otra que ni yo mismo sé para qué. Eso es lo que se llama economía de pensamiento.

El problema impactante a que hace referencia el título de este pequeño escrito es el siguiente:

Está nevando, y una máquina quitanieves sale a las 12 h. del mediodía para retirar la nieve. A las 13 h. ha recorrido 2 km., y a las 14 h. 3 km. ¿ Cuándo empezó a nevar?.

 Recuerdo que cuando nos lo plantearon, en 6º curso, pensé que si el cálculo permitía dar respuesta a dicha cuestión merecía la pena emplearse a fondo. Y así fue.

A aquél que se pueda sentir decepcionado por no encontrar la respuesta en este post le recordaré que más vale una pregunta inteligente que 100 respuestas, y que más adelante, en este mismo blog, hallará la respuesta detallada.

Podríamos decir que aquel problema fue un revulsivo, y un punto de inflexión en mi relación con las matemáticas.

 Hoy, recordando las cosas con la perspectiva que sólo el tiempo concede, pienso en cuántas vocaciones estarán siendo castradas por profesores ineptos incapaces de transmitir el más mínimo amor por su asignatura, amor que hay que sentir primero para ser capaz de trasmitirlo.

 La educación, como dijo alguien que no recuerdo ahora, es un asunto demasiado serio para dejarlo en manos de pedagogos.

Hoy, quizás, un pedagogo moderno le hubiese indicado al profesor Valentín cómo debía impartir su asignatura de matemáticas, y yo estaría, a lo mejor, dibujando triángulos repletos de vivos colorines.

En busca de una buena carne de vacuno.

Me ha gustado frecuentar restaurantes, y mi plato preferido siempre fue una buena carne. A veces sola, tal cual, a la plancha, y a veces acompañada con algún tipo de salsa. Mi criterio ha ido cambiando con los años. Hubo un tiempo en que buscaba grandes chuletones, y en este sentido tengo que resaltar el Mesón del Oso, en Cosgaya, Cantabria, en plenos Picos de Europa. Allí llevaban a gala la abundancia en la comida, y el chuletón no se quedaba atrás. Recuerdo que en las dos ocasiones en que lo tomé me lo sirvió una chica menuda, que lo traía sobre una tabla, y se lo apoyaba en el hombro cual de un peso se tratase. El hueso del mismo semejaba el antebrazo de un morrosco. No sé cuánto podría pesar, pero seguro que estaba en torno a los 2 kilos. Sí sé que al final, tras acabarlo, durante todo el día permanecía con agujetas en la mandíbula. Hoy no recomendaría a nadie comer carne de esa guisa, pues al servirlo en tabla se te iba quedando frío pues no se podía comer en menos de hora y media.

En otro momento me aficioné a tomar el solomillo o el entrecot con diferentes salsas, y he probado toda una gama de ellas, desde el conocido solomillo a la pimienta, a la mostaza, el diana, a la castellana, al cabrales, al vino tinto, el Strogonof, el Tártara, el Wellington, el mozárabe, a la cazadora, al chumichurri, y varias especialidades más.

Recuerdo de forma especial Casa Paco, en Puerta Cerrada, Madrid, cerca de la Plaza Mayor y de Cava Baja. Me sorprendió la profesionalidad del maitre. La conversación para solicitar la carne fue aproximadamente así:

¿Qué van atomar los señores?

Yo tomaré lomo de aguja.

¿Cómo lo querrá el señor?

Por mi parte muy poco hecho, casi vuelta y vuelta.

¿Con sebo o sin sebo?

Con sebo, por supuesto.

¿qué tipo de guarnición desea?

Si tiene unas coles de Bruselas eso mismo.

Tras hacerme algunas preguntas más que ahora no recuerdo me lo sirvieron en plato refractario, y me lo zampé con rapidez. Estaba magnífica, pero lo que no me ha vuelto a ocurrir es toparme con un profesional así. También he comido en Chotis y en Sobrino de Botín, restaurantes de carne muy cercanos, pero la profesionalidad y el esmero no eran el mismo. A mí me gusta que quien me atiende en la mesa esté preparado, y sepa responder certeramente a mis preguntas.

Hace algunos años en algunos restaurantes no era infrecuente que el maitre te preparara la carne delante tuya, en la richeau, y que te flambeara el solomillo en tu presencia. Era un ritual muy agradable, que ya se ve en muy pocos sitios.

La mejor carne que he probado ha sido en Cantabria, en dos restaurantes en concreto, pero el mismo tipo de carne, nada habitual por cierto ni por aquella zona. Se trataba de una carne que figuraba en la carta como chuleta de novilla, y lo tomé en dos restaurantes concretos: en La Villa, en Cabezón de la Sal, y en El Montañés, en Suances.Era una chuleta pequeñita, de unos 200 gramos, no más, de una carne muy roja, y tan tierna que se podía cortar con el tenedor. No la he encontrado jamás en carnicerías, y mira que he preguntado en muchas, incluida la de El Corte Inglés. Debe tratarse, según me explicaron, de pequeñas ganaderías propias. Aquellos que hayan llegado hasta aquí y me hayan soportado merecen probarla, pues se trata de un bocado exquisito. Nada que ver con la conocida ternera de Ávila, también muy tierna, pero de carne blanca bastante insípida.

También he tomado muchas veces ternera gallega, y chuletón asturiano, y carne de retinta, todas muy buenas, pero sin acercarse ni por asomo a la chuleta de novilla.

Hace unas semanas leí en el semanal de El Mundo acerca de una carne de una raza autóctona de Zamora que se llamaba sayagüesa, alimentada en una zona concreta creo que de León y cuyo precio oscilaba entre los 90 y los 120 euros el kilo, según se tratara de lomo o de solomillo. El aspecto de la foto que mostraban era morrocotudo, pero como no la he probado aún prefiero guardar silencio.

Esta noche, la misma noche que escribo, Dios mediante, voy a cenar unos filetes de cadera de novillo de Brasil que compro en Mercadona, y que comercializa Martínez Loriente. No es la chuleta de novilla de la que acabo de hablarles pero pruébenla si tienen un Mercadona cerca, que a buen seguro no les defraudará. De momento, al freírla en la sartén no salta, como la gran mayoría de las carnes que nos venden, y eso suele ser una buena señal. Según me explicó el encargado de la sección se trata de reses que disponen de abundantes pastos, y que se alimentan de ellos y no de piensos como muchas de las reses de nuestra Europa. La explicación, unida al sabor que posee esta carne, me pareció muy verosímil.

Nuestra percepción del universo

NUESTRA PERCEPCIÓN DEL UNIVERSO 

El título de este artículo parece dar a entender que me erijo en representante de todas las demás percepciones humanas, y así es. Supondremos por el momento que para el asunto que nos interesa las percepciones humanas son parecidas, razonablemente parecidas, como para que pueda existir lo que llamamos Ciencias Físicas.

Si nuestras percepciones fuesen absolutamente dispares sería razonable pensar en tantas Ciencias Físicas como individuos perceptores inteligentes para desarrollarla. La percepción de la gente corriente está bastante alejada de la percepción de los astrónomos profesionales, acostumbrados a escudriñar distancias interestelares y conflagraciones de estrellas con la ayuda de potentes instrumentos, pero de esta percepción particular nos ocuparemos más adelante.    

En el universo nuestros sentidos “ven” cosas, materia y esto lo vemos todos los que poseemos sensaciones; algunos dicen “sentir” espíritus y no vamos a discutir sobre su realidad, pero siendo algo poco común lo consideramos percepciones extrasensoriales.

Esta materia ocupa un lugar, y ninguna otra materia puede ocupar ese mismo lugar en el mismo momento. Nuestra percepción – es decir, algo empírico – nos enseña que materias diferentes no pueden ocupar el mismo lugar en el mismo momento. Las diversas cosas ocupan lugares diferentes y nuestro concepto de “lugar” surge de nuestra percepción de que “toda cosa ocupa un lugar”.

Sospechamos que si movemos una cosa de su lugar, ahí sigue el lugar inmutable pero esto es ya una creencia. Nuestra concepción de lugar está íntimamente ligada a nuestra concepción de materia y de cosa que ocupa un lugar, pero la creencia – verdadera o falsa – de que el lugar permanece inmutable al retirar la cosa nos permite una concepción de lugares – o de espacio – sin materia.  

Es del máximo interés que se comprenda que esto es una concepción del espacio – una imaginación de nuestro espacio – pero no el espacio que vemos, ocupado por materia por doquier. Es decir, a partir de las cosas con sus lugares, concebimos los lugares sin sus cosas y la noción de lugar la adquirimos porque vemos que para que una cosa se sitúe donde está otra, ésta habrá de desplazarse o desaparecer.

El que me esté leyendo se preguntará por qué insisto en perogrulladas de este tipo, y con razón. Creo que la mayoría de las paradojas que surgen sobre el universo, sobre su finitud o infinitud, sobre si tuvo un principio o existe desde siempre, etc., etc., tienen su base en no distinguir adecuadamente nuestras percepciones de nuestras concepciones, y me explico a continuación.  

Nosotros vemos cosas, materia, pero no vemos lugares; vemos cosas y relaciones entre cosas. Cuando vemos que algo se aleja de nosotros decimos que la cosa se mueve con respecto a nosotros, y este “moverse” nos lleva al concepto de espacio y al de movimiento. En realidad no vemos “espacio” ni vemos “movimiento”; tan sólo vemos cosas más o menos lejos de nosotros. Al ver que una cosa se aleja interpretamos que se mueve, pero bien pudiera ser que una cosa apareciera y desapareciera en distintos lugares y nosotros creyésemos que es la misma cosa que se mueve. Si admitimos como hipótesis más probable que no son cosas distintas – sino que son la misma cosa– que desaparecen y aparecen en distintos lugares, tendremos que admitir que existe un “espacio”, que las cosas se “mueven” en este espacio y que existe un “tiempo” para que acontezca el cambio de las cosas. Como vemos, “espacio”, “movimiento” y “tiempo” no son percepciones, sino interpretaciones adecuadas para explicar nuestras percepciones, aunque estas interpretaciones puedan ser “reales”, pero están fuera de nuestro campo perceptivo, de la misma forma que el átomo y la teoría atómica – que explican muchísimos fenómenos – tampoco los percibimos, pero no por eso dudamos de su realidad. 

 Sucede con el espacio, con el movimiento y con el tiempo, que por ser “lugares más comunes” que el átomo nos parecen más bien percepciones que interpretaciones. Si he conseguido que alguien al llegar a este punto del escrito ya no me considera Perogrullo me doy por satisfecho.  Ahora, si queremos progresar en nuestras disquisiciones debemos analizar las diferencias entre “percepciones” y “concepciones”.

Para empezar nuestras percepciones no son discutibles, precisamente por ser nuestras y por ser su esencia eminentemente subjetiva. Si le decimos a un compañero que viene un vehículo lanzado hacia nosotros y él nos asegura que no lo ve, que no es como decimos, y cuando tiene el vehículo cerca pega un salto, dudaremos de su sinceridad al expresarnos su percepción pero nunca de su percepción, que es solamente suya. Si una persona toma LSD y nos dice que no hay un barranco y sigue andando y se mata, podremos poner en duda la adecuación o la utilidad de su percepción, mas nunca la percepción misma.  

Las concepciones se refieren a algo externo a nosotros mismos – a diferencia de las percepciones – y, desde este punto de vista, sí son discutibles. He aquí otra razón de peso para establecer adecuadamente la distinción: ¿ para qué discutir sobre algo que pertenece a nuestro campo perceptivo, si no es discutible? Contra más alejada del sentido común es una concepción más fácil es averiguar su carácter de concepción, y cuanto más cercana, más difícil establecer lo que es percepción pura de interpretación.

Es por esto que cuando hablamos de “espacio”, “universo”, “tiempo”, etc., debemos ser muy cautos. Kant decía que el tiempo y el espacio eran concepciones “a priori”, “categorías”, como él las llamaba, para significar que existían exclusivamente en nuestro aparato conceptual para explicar el mundo. Vemos que razonando nos hemos acercado a Kant, lo cual no es poco, aunque nosotros hemos sido un poco más modestos, pues si bien decimos que no se puede afirmar la “realidad” del “espacio” y del “tiempo”, pues no son percepciones, tampoco negamos su realidad.  

Los físicos y los astrónomos estudian las propiedades de la materia y del Universo y aparecen libros en los que se nos comunica que el espacio real es riemanniano; que si el Universo es finito pero en expansión continua; que si tuvo un comienzo al que llaman Big-Bang o la “gran explosión”, que ocurrió aproximadamente hace unos miles de millones de años, y que a partir de ahí se formó nuestro Universo; que si la hipótesis de Dios es innecesaria y muchas otras cosas que pueden sumir en el estupor a muchos lectores. La reconocida autoridad de muchos de ellos, como Sagan, Hawking, Penrose y otros, nos hace tener en consideración sus afirmaciones aunque no sepamos lo que significan, y este afán por asimilar lo que dicen los “grandes” lleva a muchos a desarrollar fantasías como que la Relatividad establece que en el fondo todo es relativo y paridas de diverso género.    He pensado, y pienso, que si no separamos lo que son percepciones puras de lo que son interpretaciones y concepciones jamás tendremos la flexibilidad mental para comprender estas afirmaciones. Hemos explicado, no sé si suficientemente y adecuadamente, cómo el espacio es un concepto adecuado para situar las percepciones de la materia – independientemente de que sea o no real – y cómo el tiempo es un concepto para explicar el cambio de la materia. 

 Cuando estudiamos Física, incluso a nivel universitario, se prescinde de estas consideraciones, y de entrada nos enseñan a medir distancias, áreas, volúmenes, posiciones de un punto en un sistema de referencia, complejas ecuaciones de posiciones en función del tiempo, etc., etc., y se nos da por hecho que el espacio real es tridimensional, que la materia se mueve en este espacio merced a fuerzas y que el tiempo es lo que “tarda” la materia en moverse de una posición a otra. 

 A estos conceptos, nada fáciles de aprehender – pero fáciles de medir y operar con ellos –, se les atribuyen propiedades “ a priori” como que longitudes y tiempos son iguales para cualquier observador; cuando la Teoría de la Relatividad establece que son conceptos relativos a la velocidad del observador viene el desconcierto, y en realidad nada sabíamos del tiempo ni del espacio – como explicamos al principio -, ni siquiera que tuviesen una existencia real; mucho menos pues que fuesen conceptos absolutos – con igual medida para cualquier observador -. Entonces comprendemos que el desconcierto se origina por una falta de reflexión previa, que cuando reflexionamos adquirimos una flexibilidad mental que nos prepara para comprender afirmaciones aparentemente absurdas sobre el espacio y sobre el tiempo.  Hemos visto que nuestras percepciones sólo nos presentan la materia y sus formas y sensaciones; a partir de ahí nos resulta útil y adecuado situarla en un marco conceptual espacio-temporal – el cual parece ser real -, pero las propiedades de estos conceptos tendrán que ser verificadas empíricamente.  

La abstracción posterior nos lleva a imaginar un espacio sin materia, y la matemática construye los espacios euclídeos, y desarrolla toda una serie de teoremas. Una abstracción aún de mayor nivel define espacios si cabe más irreales, como los de Riemann o Lobachevsky, y todos son espacios imaginarios que prescinden de que contengan materia. A nuestra escala de percepción, la geometría euclídea se aproxima bastante bien al marco conceptual de espacio en el que creemos que se mueve la materia, por lo que pensamos que el espacio real es euclídeo; pero recordemos: el espacio real no estamos seguros ni que exista, y si así fuere está íntimamente ligado a la materia, y la abstracción euclídea no tiene por qué reflejar fielmente las propiedades del espacio real. 

Analicemos, como ejemplo de todo lo expresado, la afirmación relativista que afirma “El Universo es finito pero en expansión”. Nuestra percepción está habituada a lo finito: todo lo que forma parte de nuestra experiencia tiene una extensión – por grande que sea – y una duración. Si decimos que una isla es finita queremos decir que si llegamos a uno de sus extremos aparece el agua y no podemos seguir andando. Pero, ¿qué queremos decir con que el Universo es finito? Tendemos a imaginarlo con nuestra experiencia de lo finito, con nuestra experiencia de la isla, y pensamos que si llegamos a un extremo del Universo ya no podemos extender la mano porque, de otra manera, existiría Universo más allá, y si no podemos extender la mano pareciera que tuviera que haber una especie de muro que me lo impidiese.   ¿Cómo salvar estas dificultades conceptuales?. Con todo lo dicho al principio y durante todo este escrito; si pensamos en la finitud del Universo como si de una isla se tratase tropezaremos una y otra vez con la contradicción anterior. Lo adecuado es no imaginar lo que no se puede imaginar – es decir, formarnos una imagen – y tener en cuenta que el espacio y el tiempo sólo existen en relación a la materia, y en los límites de nuestro Universo – de la materia – no existen pues ni tiempo ni materia, y a medida que la materia se expande – se aleja -, se crea espacio y tiempo. Fuera de la materia no existe ni espacio ni tiempo, pero no tratemos de imaginárnoslo con nuestra experiencias diarias, porque aquí existe materia, y probablemente espacio y tiempo. Una explicación parecida sirve para las preguntas en torno al “Big-Bang”: ¿Y qué existía antes de la “gran explosión?.

A modo de justificación

Me gustaría poder decir que la motivación de mi blog es la vanidad de tener muchos lectores. No puedo decir eso porque mi esperanza estriba en que alguno de mis amigos  lean alguna que otra cosa suelta. No es, pues, la vanidad lo que me induce a escribir o a comenzar con un blog.

A mí me gusta escribir, me gusta expresar con claridad mis ideas sobre temas diversos, y casi todo lo que voy escribiendo lo acabo perdiendo. Pienso que el blog puede ser como un gran cajón virtual en el que ir echando todo aquello que se me vaya ocurriendo.

 Por otra parte, los intereses personales se reflejarán en el blog y puede que estos intereses coincidan con los de otras personas, por lo que el blog puede ser también un escaparate en el que uno muestra sus inquietudes, así como un medio para conocer a otros que las compartan.

 El título del blog “Detodounpoco” refleja la indefinición del mismo, en el que pretendo que tenga cabida cualquier cosa que se me vaya ocurriendo, aunque quizás más adelante se me ocurra cambiarlo.

La intención es que el blog, aunque diverso y variopinto en su contenido, refleje en general un sistema de pensamiento, que constituya una invitación a la reflexión sosegada y que se aleje de tecnicismos. Podríamos decir que mi intención, quizá algo pretenciosa, es invitar a los lectores a pensar conmigo. En general, y salvo algún artículo de refresco, la lectura del blog exigirá un cierto esfuerzo. 

Ah, y se me olvidaba, la razón principal de mi blog: lo escribo porque me da la gana.