El infinito

“Pensar” el infinito produce un poco de vértigo, porque cuando parece que estamos a punto de acabar todavía nos queda un poco más, y de nuevo otra vez a empezar. Es el cuento de nunca acabar. Por eso, de una vez por todas: no volvamos a “pensar” en el infinito. Nosotros sólo podemos pensar en lo finito, y sin alejarnos mucho, y todo lo que queramos saber del infinito tendrá que ser por medio de lo finito.

Desde hace mucho tiempo se sabía que en una sucesión, tal como 1,4,9,16,25,36,…llegaría un momento en que sus términos serían mayores que cualquier número prefijado, y cuando esto ocurría decíamos que esa sucesión tendía a infinito. De la misma forma, una función, tal como y = 1/x, se haría mayor que cualquier número prefijado a medida que x se acercase, mediante números positivos, a cero. Cuando esto ocurriera diríamos que la tal función tiende a infinito cuando x tiende a cero. El lector habrá advertido que no hemos definido lo que es “tender a “, pero eso no es lo importante ahora. Lo único que importa es que podemos hablar de infinito, de que una sucesión o una función tienden a infinito, si sus valores se hacen mayor que cualquier número M, por grande que éste sea. Por tanto, ya no tenemos que “pensar” el infinito, sino demostrar que los valores de la sucesión, o de la función, se hacen mayores que cualquier número M. De una forma parecida, aunque más precisa, se definió el infinito potencial, el “tender hacia infinito”.

Sin embargo, el infinito actual, los conjuntos que contienen infinitos términos, como el conjunto de los números naturales, el de los puntos de un segmento, el de los puntos de un cuadrado, el de los números complejos, etc, etc., se incluían todo en un mismo saco, y se decía que contenían infinitos elementos. A Cantor, en el S.XIX, se le ocurrió extender la definición de cardinalidad de un conjunto a conjuntos infinitos, y dijo que dos conjuntos tenían el mismo cardinal si se podía establecer entre ambos una correspondencia biunívoca ( una correspondencia uno-uno entre los dos conjuntos ). Nos llevamos la sorpresa de que el conjunto de los números pares, por ejemplo, y el de los números naturales, tienen el mismo cardinal.

Esto contradice el principio aristotélico, de que “el todo es mayor que la parte”. Parecía un principio tan claro, y se nos viene abajo. Pues sí, pero ya era hora. Nos resultaba tan claro porque estábamos extendiendo nuestra intuición de lo finito a lo infinito. Ese principio sólo es válido para los conjuntos finitos. De hecho, a partir de ahora vamos a definir los conjuntos infinitos como aquellos que se pueden poner en correspondencia biunívoca con alguna de sus partes, y vamos a definir como conjuntos finitos aquéllos en que lo anterior no es posible.

Esta idea de Cantor, aparentemente simple, encierra una gran profundidad, una gran originalidad y una extrema fecundidad. De entrada nos permite comparar los diferentes conjuntos infinitos, que antes estaban todos en un mismo saco. Así, podemos saber, por ejemplo, que el conjunto de los números racionales ( las fracciones ) se puede poner en correspondencia biunívoca con el de los naturales. A la cardinalidad de estos conjuntos, y a la de todos aquellos que se puedan poner en correspondencia biunívoca con ellos, le llamó Cantor Aleph 0. También podemos saber que los números reales no se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales. A la cardinalidad de este nuevo conjunto infinito, le llamó Cantor Aleph 1.

Es posible conocer, también, que el número de puntos de un segmento tiene la misma cardinalidad que todos los puntos de la recta, y que el número de puntos de un cuadrado, o que el número de puntos de un cubo. También podemos saber que el número de números irracionales tiene por cardinal Aleph 1.

Si un polinomio de grado n lo igualamos a cero, tenemos lo que se llama una ecuación polinómica. Llamamos número algebraico a aquel que es solución de alguna ecuación polinómica, y número trascendente al que no lo es. Algunos números trascendentes famosos son el número e, el número pi, etc. Desde Cantor, y gracias a él, sabemos con facilidad que el cardinal de los números algebraicos es Aleph 0, y el de los trascendentes Aleph 1.

Durante mucho tiempo, Cantor estuvo intentando demostrar la conjetura del continuo, que establecía que entre Aleph 1 y Aleph cero no existía ningún conjunto con una cardinalidad intermedia. No lo logró. No fue hasta principios de los 60 del S.XX,  cuando Cohen demostró que dicha cuestión era un indecidible en la teoría de conjuntos. Podemos añadir un nuevo axioma que diga que hay un cardinal intermedio, o bien añadir un nuevo axioma que afirme que no lo hay, y ambos sistemas serán consistentes, aunque obviamente incompatibles entre sí.

Excepto el teorema de Cohen, el resto de las afirmaciones sobre cardinalidad vertidas en este artículo están al alcance del lector, algunas de ellas no exentas de esfuerzo. Espero que esto último sirva para ilustrar la enorme fecundidad de la idea de Cantor, y que este artículo sea un homenaje más a este genial matemático.

Brain training

Hoy está muy de moda esto de entrenar el cerebro, con vistas a paliar los efectos deletéreos que la edad tiene sobre el mismo. Algunos practican sudokus, otros realizan crucigramas, y algunos adquieren programas específicos que te prometen hasta adelantarte tu “edad cerebral”.

 Ciertamente, la demencia es un problema que cobra mayor actualidad en nuestros días que en tiempos pretéritos, por diversas razones, entre las cuales está la mayor longevidad de la población, pero también las dificultades cada vez mayores de los ancianos para ser atendidos. Antes era corriente que los padres viviesen con los hijos, y era muy normal contar con abuelos en la propia casa, que eran cuidados por sus hijos y hasta por sus nietos. Antes, también, la palabra demencia no estaba tan de moda, y cuando los abuelos tenían “lagunas” o disparataban decíamos que estaban empezando a chochear. El hecho es que por una conjunción de razones, cuyas raíces no es el momento de analizar, nuestros mayores lo tienen cada día más difícil en nuestra sociedad, y muchos, ante la evidencia de tan triste espectáculo, procuramos prevenirlo usando diferentes estrategias.

No hace falta ser médico para comprobar que personas con una importante actividad intelectual han desarrollado Alzheimer, o algún otro tipo de demencia. Hay una enfermedad, conocida como demencia de Huntington, que se caracteriza por la aparición de movimientos incoordinados involuntarios que se asocian a un cuadro de demencia progresiva. En esta enfermedad, absolutamente determinada de forma genética, es posible saber, según la secuencia de determinados polinucleótidos del DNA, incluso la edad de aparición de los primeros síntomas. Es obvio que en este tipo de demencia, de nada nos hubieran servido los sudokus. Otras muchas demencias también tienen un componente genético, aunque no tan marcado como en la enfermedad de Huntington.

La mayoría de las personas que entrenan su cerebro, a fin de prevenir o alargar lo más posible la aparición de síntomas de pérdida de funcionalidad cerebral, estarán pensando en paliar de alguna forma lo que podríamos dar en llamar “envejecimiento cerebral normal”, que acompaña al paso de los años. Puede parecer plausible entrenar de forma rutinaria el cerebro para este fin, al modo en que se entrenan las extremidades caminando. Sin embargo, un cerebro sano requiere de un adecuado riego cerebral, y de un aporte de oxígeno adecuado. De poco serviría hacer muchos sudokus fumando como un carretero, o comiendo grasas animales de forma continuada, o bebiendo de forma inmoderada, o no controlando adecuadamente la tensión arterial.

Suponiendo que todo lo anterior se haga, y se controle, podríamos plantearnos qué método es el más adecuado para mantener un cerebro en forma.

Probablemente fuera útil abordar diferentes áreas funcionales, y potenciar diversos aspectos de la memoria, del razonamiento, del cálculo mental, del razonamiento lógico, del lenguaje, etc.,etc. Con seguridad, los diversos programas de brain training que existen en el mercado están orientados a dicho fin.

No obstante, para que una actividad sea eficaz debe ser continuada, y para que la continuemos debemos procurar que nos entretenga, o que nos resulte útil. Desde este punto de vista, una actividad que me parece idónea como entrenamiento cerebral, y útil a un tiempo, es el aprendizaje de un idioma muy diferente al nuestro, como el inglés mismo.

El lenguaje y el pensamiento están tan imbricados que aprender inglés no es simplemente aprender a decir lo que ya sabemos de otra forma, sino que estamos aprendiendo nuevas formas de pensar. Es probable que el pragmatismo anglosajón tenga algo que ver con su lenguaje, o al revés, que su lenguaje refleje su pragmatismo, pero existe una conexión indudable.