Matemática y realidad

En una lista a la que pertenezco alguien planteó la pregunta de porqué la matemática es tan útil para comprender el mundo real. En otras palabras, por qué algo que se desarrolla con papel y lápiz, sin necesidad de observar nada, se muestra tan aplicable a las disciplinas empíricas.

Hubo quien defendía posturas idealistas, platónicas, afirmando que nosotros poseemos “a priori” la idea de triángulo, o la idea de número, y que el mundo real de algún modo nos “despierta” esas ideas. Es el mito de la caverna, de Platón, centrado en las ideas matemáticas.

 Personalmente, la teoría de las ideas de Platón me resulta algo rebuscada, y la hipótesis más sencilla me resultará la más plausible, siempre que resulte suficientemente explicativa.

 Yo pienso que la idea de número, como la idea de triángulo, o la de cuadrado, o la del número 4, son ideas adquiridas por la humanidad tras un largo proceso de observación, y de abstracción posterior. Al principio, dos colecciones de piedras con diferente cardinalidad se nombrarían de forma completamente diferente, y tuvo que pasar algún tiempo hasta que aprendimos a decir: ” 2 piedras”, o ” 4 piedras”, etc., etc. Fue la observación continuada de diferentes conjuntos, y el consiguiente y elaborado proceso de abstracción lo que nos hizo concebir la idea de “1″, de “2″, de”3″, de “4″,…………, y al final la idea de número, en general.

De igual forma, la observación repetida de diferentes formas geométricas, existentes o creadas, nos llevó por un proceso de abstracción progresivo a la idea de “línea recta”, de “punto”, de “triángulo”, de “rectángulo”, de “cuadrado”, y después a la idea de “forma geométrica” a la idea de “perímetro”, o a la de “área”. Es sabido que los que dominaban las técnicas para calcular áreas se beneficiaban, haciendo creer a los legos que mayor perímetro equivalía a mayor área.

Resulta claro, así explicado, que el “número” y las “formas” no brotaron exclusivamente del papel y el lápiz, sino de la observación continuada de diversos aspectos del entorno, como fueron las diversas colecciones de objetos - con su diferente numerosidad, o cardinalidad -, y las diferentes formas geométricas.

El origen de la matemática no fue especulativo, ni se formalizó o axiomatizó en un primer momento. La aritmética, y la geometría, surgieron para resolver cuestiones del mundo real, y no es de extrañar, por tanto, que se adapten tan bien a éste. En un proceso mucho más tardío se encontró la forma de axiomatizar y formalizar la geometría, algo que hizo Euclides con sus Elementos de geometría, y casi 23 siglos más tarde Peano, con su formalización de la arimética y su axiomatización del número natural. Estas formalizaciones procuraron siempre respetar el origen práctico de la arimética y de la geometría, de forma que muchos de los resultados teóricos de Euclides ya eran conocidos de forma empírica por los egipcios, de igual forma que los axiomas de Peano conducen a que  2+2 =4.

Posteriormente se vio que eran posibles otras geometrías, y surgieron las geometrías no euclídeas, que, en un principio carecían de modelos reales a los que aplicarse, pero a los que posteriormente se encontró aplicación, como es el caso de la geometría de Riemann a la teoría general de la relatividad de Einstein.

 Es decir, en un principio la matemática surge hermanada con la realidad, posteriormente se emancipa,  se sigue alejando más, y en el momento más insospechado alguien le encuentra una aplicación a esas teorías. Es el caso de Murray Gell-Mann a la teoría de grupos para la física de partículas, o los espacios de Hilbert a la mecánica cuántica, o la encriptación de datos a la teoría de números, etc.,etc.,etc.

Hoy, la matemática constituye un mundo aparte, y eso hace que nos parezca sorprendente que el mundo de las ideas matemáticas encuentre tal cantidad de aplicaciones al mundo real.

Habitualmente se usa como paradigma de verdad aquello de que 2+2 =4, aunque sólo unos pocos serían capaces de demostrarlo a partir de las correspondientes definiciones y axiomas. Sin embargo, todo el mundo emplea aquello de que “está más claro que 2 y 2 son 4″. Curiosamente nadie dice: “está tan claro como que 2367 y 4378 son 6745″. Este ejemplo nos muestra, una vez más, el origen empírico de la suma de números. Si el origen no hubiera sido empírico estaría tan claro lo uno como lo otro. Todos estamos familiarizados con lo primero, con que 2 y 2 son 4, pero no con lo segundo.

Las definiciones

El Diccionario de la Real Academia Española, en su primera acepción sobre “definir” nos dice: “Fijar con claridad, exactitud y precisión la significación de una palabra o la naturaleza de una persona o cosa”.

 Grosso modo existen dos formas, bien diferenciadas, de aprender nuevas palabras. La primera forma, y a la que acudimos con mayor frecuencia los que manejamos algunas palabras, es el diccionario. El significado de la nueva palabra quedaría, de esta forma, fijado con claridad, exactitud y precisión, en función de otras palabras cuyo significado nos debe ser conocido. Esta primera forma de definición constituiría lo que podríamos llamar definicón verbal.

 Sin embargo, los niños, que no conocen palabras, no pueden aprender así. Ellos deben aprender por asociación de un sonido con una “imagen”, ya sea ésta visual, auditiva, olorosa, táctil, etc. Habrá que decirles “lluvia”, y hacer que la sienta. Este otro tipo de definición, tan importante también, se llama definición ostensible, puesto que a la vez que pronunciamos la palabra mostramos el objeto. Todos aquellos conceptos, u objetos, esencialmente sensuales, no habrá otra forma de definirlos. No se me ocurre otra forma de definir lo “agrio” que dando a probar algo con ese sabor tan especial.

Una materia en la que hay ser especialmente cuidadoso con las definiciones, en cuanto a la precisión se refiere, son las matemáticas. ¿Qué clase de definiciones usaremos en esta materia, la verbal o la ostensible?. La verbal parece más seria para una materia como las matemáticas pero, ¿qué hacemos con los primeros conceptos, con los “primitivos”?.

Podemos hacer dos cosas:

Si tenemos una “imagen” previa del concepto a definir podemos intentar dibujarla de forma aproximada, para que se aprenda por abstracción progresiva. Podemos dibujar simulacros de segmentos, cada vez más delgados, y cada vez más largos, hasta que se logre captar el concepto de “recta”. Ahora bien: esto puede servir, tan sólo, para aquellos conceptos de los que poseemos una “imagen”.

Si no disponemos de una “imagen” de lo que queremos definir como, por ejemplo, para los conceptos de las geometrías no euclídeas habrá que transmitirlos de otra manera. Lo hacemos enumerando propiedades de esos conceptos - sean éstos lo que sean -, de tal manera que cualquier conjunto de conceptos, de los que dispongamos de una “imagen”, y que cumplan dichas propiedades, constituirá un modelo de aquellos conceptos. Esto es lo que se conoce como definición axiomática, que es la que de forma generalizada se ha impuesto en la matemática actual.

Nuestra “imagen” clásica de “punto” y de “recta” cumplen los axiomas de la moderna geomtría euclídea, pero también los cumplen un par ordenado de números reales (a,b) y la ecuación algebraica de la forma a.x+b.y+c = 0. Por tanto, ambos constituyen un modelo de la geometría euclídea.

Como hemos visto, cada conjunto de conceptos previamente conocidos que cumplen los axiomas de la definición constituyen un modelo para los conceptos que queremos definir. A los conceptos que pretendemos definir de esta manera - mediante una definición axiomática - es preferible no llamarlos conceptos, pues están situados en un nivel de abstracción mayor que los conceptos de los modelos. Podemos llamarlos conceptores, y de hecho así se hace.

Así, mientras en la moderna geometría euclídea, “punto”, “recta” y “plano” serían conceptores, nuestras antiguas imágenes euclidianas de “punto”, “recta” y “plano” constituirían un modelo, y serían, por tanto, conceptos. De igual forma, un par ordenado de número reales (a,b), la ecuación a.x+b.y+c = 0, y la ecuación a.x+b.y+c.z+d = 0 también constituyen un modelo para los conceptores, y son, por tanto, conceptos.

Así, la matemática moderna no define tanto conceptos como “conjuntos de conceptos” que cumplen determinadas propiedades; esto es: estructuras. Así, conjuntos de lo más diversos pueden tener la misma estructura, y los resultados obtenidos en abstracto para los conceptores se podrán aplicar, por igual, a los conceptos de esos conjuntos tan diversos.

Es éste un tema difícil y árido, pero que merece ser pensado, pues constituye el pilar conceptual fundamental de toda la matemática moderna.

Fermat versus Gödel

Fermat fue un jurista y matemático francés del S.XVII que hizo importantes aportaciones a la matemática, entre otras a la geometría analítica y a la teoría de probabilidades, teoría esta última que contribuyó a crear junto con su compatriota Blaise Pascal. Sin embargo, su fama mundial como matemático se debe a su famosa conjetura, que establece que no es posible encontrar 3 números enteros que cumplan la siguiente igualdad:

xⁿ + yⁿ = zⁿ, para cualquier n > 2.

 Además, afirmó que había encontrado la demostración pero que no le cabía en el margen.

Gödel fue, quizás, el lógico más importante de todos los tiempos. Su famoso teorema de incompletitud establece que ningún sistema formal suficientemente expresivo ( como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la aritmética ) puede ser, a su vez, consistente y completo. Si es consistente ( no contradictorio ) siempre habrá proposiciones en el sistema sobre las que no se pueda afirmar su veracidad o falsedad.

Esto fue todo un mazazo, en su época, para el programa de Hilbert que pretendía desarrollar algoritmos para demostrar todos los teoremas en un sistema formal. Al principio de incertidumbre de  la física, de Heisenberg, se le sumaba ahora otra incertidumbre en la axiomática matemática. Además, Gödel, para no dejar opción a los intuicionistas, encabezados por Brouwer, en su demostración utilizó un método constructivo, creando una proposición cuya verdad o falsedad no se podía demostrar en el sistema.

 En el año 1995 Andrew Wiles consiguió demostrar el teorema de Fermat, utilizando métodos matemáticos muy complejos que eran desconocidos en la época de Fermat.

 Cabría preguntarse si sobre Wiles, que tantos años le dedicó al teorema, y por el que le concedieron la medalla Fields, el equivalente al Nobel de Matemáticas, que se concede cada 4 años, planeó en algún momento la sombra de Gödel. ¿Se preguntaría Wiles si se estaría enfrentando a un indecidible de Gödel, a algo que nunca se podría demostrar?

Peor aún: ¿ Se preguntaría Wiles si llegaría alguien que demostrara que la conjetura de Fermat era un indecidible de Gödel ?. Si así fuera todo su trabajo de tantos años quedaría arruinado, e incluso podría quedar en ridículo ante la comunidad matemática internacional.

 Por fortuna se puede demostrar que esto último nunca podría haberse hecho, con lo que Wiles podía andar tranquilo en este sentido.

 Lo más impresionante de todo es que, en este tema tan abstruso, el lector tiene la última palabra, y a él le corresponde demostrarlo. Además, de una forma bien sencilla,  y sin ningún conocimiento técnico.

Como siempre, esta curiosa cuestión la demostraremos en otro escrito de este blog.

AXIOMÁTICA Y SISTEMAS FORMALES

De mis primeros escarceos geométricos recuerdo que se definía la palabra axioma como “aquellas verdades evidentes por sí mismas”. No me he tomado la molestia de comprobar la definición del D.R.A.E. pero no tiene relevancia para este artículo; el lector interesado puede consultarlo por sí mismo y, a la luz de este artículo, comprobar si se trata de una definición ajustada. Esa definición de nuestros primeros estudios habla de “verdades”, y también de “evidentes por sí mismas”.

En una primera aproximación tiendo a pensar que las “verdades” han de ser comprobables o verificables, con lo cual los axiomas debieran referirse a cuestiones empíricas; sin embargo un enunciado como “todos los quaks negros son negros” ha de ser verdadero, existan o no existan los quaks, puesto que su verdad no depende de su comprobación, sino de la estructura gramatical del enunciado; a saber: el predicado es parte del sujeto.

Así pues, las “verdades” aparte de referirse a enunciados verificables también pueden hacer referencia a lo que podríamos llamar “verdades lógicas”. No es el objeto hablar aquí de lo que entendemos por este concepto pues nos desviaríamos del objeto del presente artículo, pero sí señalar que son enunciados tautológicos, es decir, necesariamente verdaderos, mientras que los enunciados empíricos – los verificables – serán contingentemente verdaderos; es decir su verdad deriva de su comprobación efectiva, mas no de ningún principio metafísico que lo haga necesariamente verdadero. Establecida esta diferencia – esencial a mi juicio – entre verdades contingentes y verdades necesarias analizamos la segunda parte de la definición.

Cuando se nos dice “evidentes por sí mismas” se supone que se nos está diciendo que cualquier persona puede ver la verdad de estos enunciados por inmediatos que aparecen a la “inteligencia”. Baste con decir que lo que es evidente para ti, lector, puede no serlo para mí, y viceversa; esto implica un componente de subjetivismo que impregna la definición.

El V postulado de Euclides, enunciado en su forma original, no es precisamente un modelo de evidencia. Precisamente lo complicado del mismo hizo pensar a muchos matemáticos que se trataba de un teorema, por lo que se realizaron numerosos intentos, infructuosos, para demostrarlo. Estos desarrollos, como veremos más adelante, desembocaron en las geometrías no euclídeas

Una vez señaladas las deficiencias de la definición antigua de axioma quisiera hacer un paréntesis para referirme brevemente a la historia. Es bien sabido que el primer gran sistematizador de la geometría fue Euclides. Los egipcios ya tenían conocimientos geométricos dispersos -todos ellos con una orientación eminentemente práctica-, utilizados principalmente para la determinación de áreas de tierras que quedaban borradas por las periódicas inundaciones del Nilo. 

Si bien Euclides sistematizó y axiomatizó estos conocimientos, dándoles un carácter formal, él pensaba que su geometría reflejaba las propiedades del mundo real; en ningún momento trató de crear un exclusivo juego de conceptos lógicos.

Definió conceptos como “punto”, “recta” y “plano” para, a continuación, enunciar los “axiomas” que relacionaban estos conceptos. Es decir, para Euclides, sus axiomas eran verdades evidentes por sí mismas sobre unos conceptos previamente definidos. Todo aquel que entendiese, por “punto” y por “recta”, lo mismo que Euclides parecía razonable que aceptase como verdadero el axioma de que “por dos puntos pasa una única recta”. Los axiomas de Euclides pretendían describir las propiedades de nuestro espacio de una forma “evidente” y sistemática. Fue tal el éxito de este desarrollo que su libro, “Elementos de Geometría”, fue todo un paradigma de modelo de conocimiento, hasta el punto de que en el mundo antiguo – prácticamente hasta Galileo – el método experimental estuvo muy desprestigiado aunque lógicamente existieron honrosas excepciones.

Cualquier historiador de la Ciencia considera este libro como uno de los grandes hitos del pensamiento.

Antes de seguir avanzando por esta senda que nos hemos trazado es preciso hacer un paréntesis obligado, y decir algunas palabras sobre el concepto de definición.

Existen diferentes formas de definir algo; una es la que se utiliza cuando consultamos un diccionario: el concepto definido se delimita en función de otros conceptos ya conocidos. Es la forma común de aprender nuevos conceptos cuando somos adultos; es la llamada definición verbal. Obviamente este proceso no se puede llevar hasta el infinito, y habrá un conjunto de conceptos básicos que tendrán que ser aprendidos sin el diccionario. Es el modo de aprendizaje de los niños, los cuales no conocen palabra alguna, y todo les debe ser mostrado de forma que asocien un sonido a una imagen. Es la llamada definición ostensiva.

Euclides dio una definición verbal de punto, recta y plano; así, recta era “ una serie de infinitos puntos alineados”. Definir “recta” en función de “alineados” y de “infinito” es trasladar el problema de lo definido a la definición. Por otra parte, si “definir” supone delimitar de forma precisa la naturaleza de lo definido, la definición nos permite un exacto conocimiento de lo definido. En este sentido, pues, los axiomas serían una consecuencia lógica de las definiciones y tendrían el carácter de teoremas. Es decir: si todo quedara definido desde el principio los axiomas sobrarían, pues se podrían deducir de las definiciones.

Dado que no es posible definirlo todo en forma verbal habrá que tomar unos conceptos como “primitivos”, en el sentido de no definidos explícitamente, no definidos verbalmente.

El sistema que empleó Euclides adolecía de dos defectos, a saber: haber intentado una definición explícita de conceptos “primitivos”, no reductibles a conceptos más simples, y proponer axiomas sobre conceptos previamente definidos. Esto, sin embargo, no debe restarle grandiosidad a su obra.

La axiomática moderna evita definirlo todo – por imposible -, y adopta una serie de conceptos “primitivos” que no define explícitamente. Relaciona estos conceptos mediante una serie de relaciones – axiomas -, y serán éstas las que constituirán una definición implícita de aquéllos. En esta nueva versión sí son necesarios los axiomas, pues la carencia de definición verbal previa de los conceptos no ha caracterizado aún su naturaleza; serán los axiomas los que nos caractericen aquellos entes que puedan ocupar el lugar de los conceptos “primitivos”. Dicho de otra forma: aquellos entes concretos que, sustituyendo a los conceptos “primitivos”, verifiquen las relaciones expresadas en los axiomas constituirán un “modelo” del sistema axiomático.

Podríamos decir que los axiomas no “definen” unos entes concretos, unos conceptos “primitivos” concretos, sino toda una serie de entes o de conceptos “primitivos”. Los axiomas no versan sobre nada concreto, sobre nada definido explícitamente, sino sobre una “vaguedad” de conceptos “primitivos” restringidos exclusivamente por las propiedades que los axiomas enuncien. ¿De qué estamos hablando entonces? No lo sabemos.

Esta abstracción progresiva de las matemáticas y de los sistemas axiomáticos hizo exclamar a Bertrand Russell: “La matemática es la ciencia en la que no se sabe de qué se habla ni siquiera si lo que se dice es verdadero”. Y así es, en efecto. Si encontramos un modelo para nuestros axiomas entonces, y sólo entonces, podremos saber de qué hablamos y, eventualmente, verificar si los resultados son verdaderos.

A continuación vamos a establecer los rudimentos de un sistema axiomático para plasmar lo explicado anteriormente.

1º. “Gomy” es un “guelfo”.
2º. A todo “guelfo” le corresponde un único “guelfo”.

3º. Si dos “guelfos” son iguales y son los correspondientes de otros dos “guelfos” , éstos también son iguales.

4º. Gomy” no es el correspondiente de ningún “guelfo”.

5º. Si tenemos un conjunto al que pertenece “Gomy” y al que pertenece el correspondiente de un “guelfo” siempre que el “guelfo” pertenezca al conjunto, ese conjunto es el conjunto de los “guelfos”.

Este aparente galimatías establece relaciones entre “guelfos” y “Gomy”, que serían los conceptos “primitivos”. La relación “corresponderse” también queda indefinida; “dos” e “iguales” también guardan su sentido habitual, a no ser que se especifique algo en contra.

Si sustituimos “guelfo” por ladrillo, “Gomy” por primer ladrillo, “corresponderse” por estar situado encima en la misma posición, “dos” por su sentido habitual, e “igual” por ser el mismo ladrillo, los axiomas quedarían así:

1º Todo ladrillo tiene encima un ladrillo.
2º Hay un ladrillo al que llamamos primer ladrillo.
3º Si dos ladrillos son el mismo ladrillo, los ladrillos a que corresponden éstos también son iguales
4º El primer ladrillo no está encima de ningún otro ladrillo.
5º Un conjunto al que pertenece el primer ladrillo y al que pertenece el ladrillo de encima cuando pertenece un ladrillo dado es el conjunto de los ladrillos.

Como vemos, una pila vertical infinita de ladrillos constituiría un modelo de nuestro sistema axiomático.

De igual forma, los números 1,2,3,4,5,6,7,8,………, es decir, la aritmética de números naturales, sería otro modelo válido de nuestro sistema axiomático.

También 7,8,Pepe,9,10,11,12,Juan,13,14,15,16,17,18,19,20.

Sin embargo 1,2,3,4,5,6,7,8,8,9,10,11,12,13,14,………, no valdría, pues violaría el 3º axioma.

Un sistema axiomático como el anterior tiene una infinitud de modelos. La enorme abstracción del sistema axiomático nos brinda la oportunidad de aplicar al modelo los resultados – teoremas – demostrados para el sistema. La cuestión de si un sistema axiomático es verdadero o no, carece de sentido. A un sistema axiomático, como veremos más tarde en detalle, le son aplicables los calificativos de completo o incompleto, consistente o inconsistente. La cuestión de si es verdadero o no – en el sentido de verificable en nuestro mundo -, depende de que el modelo se ajuste más o menos perfectamente a los axiomas. La geometría euclídea no es ni más verdadera, ni más falsa, que la de Lobachebsky o Riemann; será más o menos aplicable a nuestro espacio real, según que los axiomas de una o de otra geometría se adapten más o menos a nuestro universo.

Puede ser que un modelo escogido, entre los muchos posibles, no sea el adecuado, y otro sí lo sea. En nuestro sistema anterior, y a los propósitos de contar, el 1,2,3,4,5,6,7,…….., se muestra mucho más apropiado que la pila de ladrillos, aunque ésta también cumpla – como vimos – los axiomas.

El motivo de haber elegido términos como “guelfo” o “Gomy” para designar a los conceptos primitivos es para aislar la mente del lector de cualquier palabra que pudiera resultarle familiar; de esta manera será de esperar que asigne a los conceptos “primitivos” únicamente aquellas propiedades autorizadas por los axiomas, eliminando las connotaciones conocidas que pudieran tener otros términos comunes. 

Solamente unas breves palabras para exponer las ideas históricas que subyacen al nacimiento de las geometrías no euclídeas. Euclides enunció su V axioma en una forma bastante complicada – este axioma es el equivalente a que “por un punto exterior a una recta pasa sólo una paralela -, y este fue el motivo por el que muchos matemáticos pensaron que quizá fuese un teorema, es decir, que se podría demostrar a partir de los anteriores. Numerosos intentos, en este sentido, resultaron infructuosos, por lo que cada vez fue apareciendo más clara la idea de que en realidad se trataba de un axioma. Si fuera un axioma – pensaron – podemos cambiarlo por otro que diga otra cosa y no aparecerá contradicción alguna. Si fuera un teorema, tarde o temprano tendría que aparecer alguna contradicción. Podemos elegir un axioma que diga que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela, o también otro que dijera que pasan infinitas paralelas.

Si se ha comprendido todo lo explicado anteriormente estos axiomas no deben resultar más disparatados que el axioma de Euclides – el que dice que sólo pasa una paralela -. En efecto, puesto que los axiomas son los que definen – implícitamente – a los conceptos “primitivos”, si cambiamos los axiomas, los conceptos “primitivos” que satisfagan a éstos también deberán cambiar. Los axiomas nos resultarán disparatados si seguimos pensando en la imagen visual de “punto”, “recta” y “plano” que satisfacen los axiomas de Euclides. Si pensamos en otro modelo diferente que satisfaga los nuevos axiomas ya no habrá nada disparatado. El hecho de encontrar un modelo para el nuevo sistema de axiomas nos asegura la consistencia del sistema - la no contradicción -, puesto que si hubiese contradicción no podría existir el modelo. Algo que existe no puede ser contradictorio, por el mero hecho de existir. Luego, si encontramos un modelo para el nuevo sistema – con el V axioma modificado – esto significará que dicho axioma no era un teorema, puesto que si así fuera el sistema sería contradictorio y no podría haberse encontrado modelo algunoTanto la geometría de Lobachebsky – no pasa ninguna paralela – como la de Riemann – pasan infinitas paralelas – han encontrado modelos que la satisfacen, por lo que son consistentes – no contradictorias -.

No vamos a entrar en detalles que nos alejarían del objeto del artículo, pero sí señalar que para los modelos en cuestión los entes que ocupan el lugar de los conceptos “primitivos” no tienen nada que ver con el “punto”, “recta” y “plano” al que estamos acostumbrados.

Es frecuente encontrar en los libros de divulgación científica que para Einstein el espacio real es riemanniano. ¿Qué se nos quiere decir con esto? Obviamente, las propiedades que tenga o deje de tener eso que llamamos “espacio real” tendrán que venir dictadas por la observación. Los sistemas axiomáticos son ajenos a la observación y no tienen que ser un reflejo de este “espacio real”. Ahora bien, como dijimos al hablar de los modelos, determinados entes del espacio físico se pueden acomodar más a las propiedades de un espacio de Riemann que a un espacio de Euclides. Estos entes ocuparían el lugar de los conceptos “primitivos” y, en este sentido, solamente en éste, podremos decir que el “espacio real” es riemanniano. Es decir, elegidos ciertos entes del espacio físico, parece ser que el “espacio real” constituye un modelo más adecuado de espacio de Riemann que de Euclides. Esto pertenece al campo de la observación y al campo de la física, y bien pudiera ser que mañana se viera que el mundo real se adapta mejor a otro tipo de espacio, sin que esto afectara para nada a los espacios de Riemann.

Esta especie de circunloquio, en la que repito de diversas formas la misma idea – aún a riesgo de resultar reiterativo -, es un recurso de utilidad cuando uno pretende que lo entiendan; expresar de múltiples formas una idea – por lo general compleja – facilita que más personas sean capaces de captar lo que se expresa, pues lo que para unos resulta ser una expresión feliz y acertada no lo es para otros. Todo sistema axiomático debiera reunir, al menos, dos condiciones para que resultase lógicamente impecable: ser consistente y ser completo. Se dice que un sistema axiomático es consistente cuando es lógicamente no contradictorio, o lo que es lo mismo, cuando las proposiciones p y no p no pueden coexistir en el sistema.

Decimos que un sistema es completo cuando cualquier enunciado sobre conceptos “primitivos”, o sobre conceptos definidos a partir de éstos, puede ser demostrada en el sistema, o, expresado de otra forma, cuando cualquier proposición sobre los conceptos del sistema es, o bien un axioma, o bien un teorema. A principios del S. XX, el más famoso matemático de la época, David Hilbert, se propuso la difícil tarea de encontrar un sistema que permitiese la demostración de cualquier teorema, en la creencia de que esto era siempre posible – demostrarlo todo -.

Gödel demostró que tal propósito era imposible y que cualquier sistema axiomático suficientemente expresivo – tal cual la aritmética o la teoría de conjuntos –, para ser consistente ha de ser incompleto, en el sentido de que habrá proposiciones, indecidibles, que no podrán ser demostradas en el sistema. 

Sistemas axiomáticos más simples, como la Lógica de enunciados de Principia Mathematica, de Russell y Whitehead, como también demostró Emile Post, sí son al tiempo consistentes y completos. Asimismo, en 1920, Hilbert y Ackerman demostraron que la lógica de predicados de Principia Mathematica era consistente, demostrando Gödel en 1930 que tal sistema era, asimismo, completo.

Hemos tratado, de forma muy condensada, temas de suficiente complejidad como para requerir un esfuerzo por parte del lector, y hemos omitido todo el simbolismo inherente al tratamiento de estos temas para facilitar la comprensión conceptual. El tratamiento detallado de sistemas axiomáticos exige la utilización de símbolos que permita expresar las fórmulas del sistema. Este tratamiento, obligado al analizar sistemas concretos, hacen que el hombre culto con deseos de entender rehuya estas lecturas. Para terminar puntualizaré de forma concisa los elementos que debiera reunir todo sistema axiomático. Un sistema axiomático S bien diseñado debe cumplir los siguientes requisitos:

Una lista de las letras y demás símbolos a utilizar en S. Una serie de reglas que establezcan qué complejos de signos son enunciados bien formados en S. Una lista completa de aquellos enunciados bien formados en S que van a ser utilizados como axiomas. Una lista completa de las definiciones utilizadas en el sistema. Una exposición de las condiciones necesarias que debe reunir una demostración, dando por resultado un teorema en S. Una lista completa de las reglas de deducción en S, reglas que determinarán y limitarán los movimientos u operaciones a realizar con los enunciados bien formados de S. En el caso de que puedan utilizarse en S los teoremas de alguna otra rama de la lógica o la matemática, deberá haber una estipulación que así lo especifique.

Hoy en día la mayor parte de las grandes ramas de la matemática se hallan axiomatizadas, y este método ha alcanzado un éxito sin precedentes pues su enorme abstracción le concede una enorme generalidad. Cualquier demostración realizada, por ejemplo, en teoría de grupos, se puede aplicar a la infinidad de modelos de grupo existentes.

Ahora sí acabo, de verdad, para señalar que he procurado en este artículo poner al alcance de los lectores de una forma rigurosa y clara, alejada de los tecnicismos propios de la materia, un tema que es a la vez importante y complejo. Espero haber conseguido, al menos en parte, mi objetivo