Las claves de un problema. La Primitiva (2)

En el artículo anterior nos hemos preguntado por cuántas combinaciones hay de m números, a elegir entre N números, que estén integradas por secuencias de longitudes L1,L2,……..,Ln.

 También podemos plantearnos la pregunta inversa: ¿De cuántas longitudes diferentes de secuencias puede estar integrada una combinación de m números?. Esta pregunta intuitiva no la hemos formulado de forma precisa, porque aún no disponemos de todas las definiciones pertinentes. Una combinación de m números podría estar integrada por m secuencias de 1 número, o por 1 secuencia de m números, o por 2 secuencias de 1 número y por una secuencia de (m-2) números, o por 1 secuencia de 2 números y por otra secuencia de (m-2) números, y ….., por todas las formas de descomponer un número m en sumandos iguales o menores que él.

 Esta segunda pregunta que nos hemos planteado la podemos reducir a las diferentes formas de descomponer un número m en sumandos iguales o menores que él. Si tecleamos en Google partition of integer numbers nos daremos cuenta de la dimensión y la dificultad que encierra la pregunta que acabamos de formularnos.

 En el anterior artículo también nos referimos a la importancia de elegir la notación más apropiada para definir los conceptos implicados en un problema.

Hablamos de que cualquier combinación de m números se puede considerar integrada o compuesta, de forma general, por n secuencias que nombrábamos como s1,s2,s3,….,sn. Llamábamos L1,L2,….,Ln al número de números que componían las respectivas secuencias, y para simplificar las llamábamos las longitudes de las secuencias.

Cualquier secuencia queda perfectamente definida por su número inicial y por su longitud. De esta forma, la secuencia t ( st ) quedará definida por su número inicial ( it ), y por su longitud Lt. Por ejemplo, la secuencia formada por los números (2,3,4,5) queda definida por el número inicial de la secuencia, el 2, y por su longitud, el 4, puesto que la secuencia tiene 4 números.

 Una combinación de m números está formada por n secuencias s1,s2,s3,…,sn. Entre 2 secuencias consecutivas hay un hueco, porque si no lo hubiera habría 1 única secuencia. Al hueco entre s1 y s2 lo llamamos h1, y al hueco entre s(n-1) y sn lo llamamos hn. No hemos definido lo que es un hueco aún, pero seguro que ya todos sabríamos definirlo porque resulta muy intuitivo.

 Hemos dicho que el número inicial de la secuencia t lo vamos a representar por it. El número inicia de la secuencia (t+1) lo representamos por i(t+1). El hueco entre ambas secuencias, que lo llamamos ht, viene definido por ht = i(t+1) -it-1. Por ejemplo, el hueco entre las secuencias (1,2,3) y (7, viene definido por 7-3-1= 2.

Con estas nuevas definiciones ya estamos pertrechados para resolver la pregunta del artículo anterior:

¿Cuántas combinaciones de m números se pueden elegir entre N números, de forma que estén compuestas por secuencias de longitudes L1,L2,….,Ln?

También podemos responder a esta otra pregunta:

¿Cuántas combinaciones de m números se pueden elegir entre N números, de forma que estén compuestas por secuencias de longitudes L1,L2,….,Ln, y que, además, tengan huecos h1, h2,…..,h(n-1)?

Para ambas preguntas he conseguido obtener la fórmula que da la respuesta exacta, y que se puede aplicar con éxito a numerosos problemas. Las bases para la demostración acaban de ser ofrecidas en los dos artículos de este blog, y esa tarea la dejo para el lector interesado. Sin duda, el mayor trabajo está ya hecho.

La moraleja de estos dos artículos es que en la correcta formulación de una pregunta está el germen para la respuesta, y que para la correcta formulación es preciso dar las definiciones previas adecuadas y elegir la notación más conveniente. Ambos artículos han sido la historia de un problema.

Las claves de un problema. La Primitiva (1).

Cada problema tiene una pequeña historia detrás, y sucede que una gran mayoría de veces se elude por motivo de espacio, con lo que se pierde lo más esencial del mismo, cual es el conjunto de vericuetos mentales que han conducido a la solución.

 Esta es la historia de cómo una pregunta inicial, fruto de una observación ocasional, se transformó en un problema de mucho mayor alcance. Es la historia, en definitiva, de cómo ir planteando preguntas sucesivas para obtener respuestas.

En una ocasión, mi padre, con motivo de un sorteo de la primitiva me llamó la atención sobre lo frecuente que era que aparecieran 2 números seguidos. En realidad, se refería a lo frecuente que era que salieran al menos 2 números seguidos.

Podríamos preguntarnos por la probabilidad de que salgan exactamente 2 números seguidos, o por la probabilidad de que salgan al menos 3 números seguidos, o exactamente 4 números seguidos, etc.,etc.

La primitiva, como sabemos, es un sorteo en el que entre 49 números se sortean 6. Podríamos generalizar la cuestión, y considerar N números en vez de 49, y también que se sortean m números, en vez de 6. De esta forma, habríamos generalizado bastante la cuestión.

Ahora bien: a esas combinaciones de m números, a elegir entre los N números, desearíamos imponerle las condiciones que apeteciéramos. Querríamos que, por ejemplo, hubiera por un lado 2 números seguidos, por otro 3 números seguidos, por otro 7 números seguidos, por otro 5 números aislados, etc., etc.,etc….. ¿Cómo hacemos para formular esta pregunta intuitiva en términos precisos, en términos matemáticos, susceptible de ser estudiada y resuelta con toda la precisión?

Cualquier combinación de m números podemos suponerla ordenada de menor a mayor, puesto que 2 combinaciones son diferentes si y sólo si los elementos que la constituyen lo son, sin importar el orden en que se consideren.

Si en la combinación de m números, ordenada de menor a mayor, hay 2 números seguidos diremos que hay 1 secuencia de 2, si hay 3 números seguidos diremos que hay 1 secuencia de 3, si hay p números seguidos diremos que hay una secuencia de p números. Si hay 1 número aislado diremos que hay 1 secuencia de 1.

Si nos fijamos en cualquier combinación de m números, ordenada de menor a mayor, veremos que está formada por una secuencia s1, otra secuencia s2,…………., otra secuencia sn. En el caso particular de que estemos ante una combinación de m números seguidos habrá únicamente una secuencia de m números. En el caso particular de que estemos ante una combinación de m números aislados habrá m secuencias de 1 número cada una.

Pondremos un ejemplo: La combinación formada por los números (4, 6, 7, 9, 10, 11 ) está formada por una secuencia s1 de 1 número, el 4,; por una secuencia s2 de 2 números, el 6 y el 7, y por una secuencia s3 de 3 números, el 9, el 10 y el 11.

Llamaremos L1 a la longitud de la secuencia s1, o al número de números que componen dicha secuencia. De forma general, llamaremos Ln a la longitud de la secuencia sn.

Ahora, una vez formuladas con precisión las definiciones pertinentes, podemos formular de forma precisa una pregunta: ¿Cuántas combinaciones de m números se pueden elegir entre N números, de forma que estén formadas por secuencias de longitudes L1, L2,L3,……..,Ln?

De momento tenemos una pregunta bien formulada de ámbito general, lo cual es el requisito previo para encontrar la respuesta. Como veremos en otro artículo de este blog la notación que utilicemos también será fundamental, tanto para formular la pregunta correctamente como para encontrar la respuesta.