La inducción científica

Siempre se nos enseñó que las ciencias, y en particular la física, eran inductivas, mientras que las matemáticas eran una disciplina deductiva. Las primeras partían de lo particular para establecer verdades generales, mientras que la matemática procedía al revés.

Hoy sabemos que la ciencia no es sólo, ni principalmente, inductiva, sino que su método es más bien hipotético deductivo. Si hubiera sido tan sólo inductiva, basada en la observación repetida, no hubiera podido avanzar tanto. La formulación de hipótesis, que trasciende a la simple observación, es la que nos permite des-cubrir, des-velar, lo que está oculto tras los fenómenos. Nunca se habría descubierto la primera ley de Newton, la de la inercia, la de que todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento uniforme a menos que una fuerza actúe sobre él, si no llega a ser por un portentoso esfuerzo de imaginación. En la práctica observamos que todos los cuerpos frenan su movimiento, sin que aparentemente actúen fuerzas sobre ellos. Karl Popper fue el primero en insistir en que el método científico es, principalmente, hipotético deductivo. El sol seguirá saliendo mañana, no por la sencilla razón de que lo haya hecho hasta ahora, sino por toda una red de hipótesis, leyes, observaciones y deducciones que explican no sólo la salida del sol, sino que constituyen toda una teoría explicativa de gran generalidad.

Hace algún tiempo leí en un libro de Martin Gardner, titulado “Ajá”, una  cuestión que me resultó sorprendente e interesante a un tiempo. Yo me permito añadirle algún pequeño ingrediente para precisar más la cuestión que se plantea.

Supongamos que la observación nos ha conducido a clasificar un determinado tipo de aves como cuervos, y la definición de dichas aves viene caracterizada por toda una serie de peculiaridades, excepto por su color. No obstante, hasta el momento, y tras realizar numerosas observaciones, todos los cuervos con los que nos hemos topado son de color negro. Si seguimos observando cuervos, y todos son negros, es natural que nos planteemos la conjetura de que “todos los cuervos son negros”. En esta situación, si nos topamos con un nuevo cuervo, y resulta ser negro, esta observación “reforzará” nuestra conjetura. Si suponemos que el universo está formado por un número finito de objetos, ¿ la observación de una vaca marrón reforzará en algún modo la conjetura de que “todos los cuervos son negros”?

Este ejemplo lo planteó el filósofo alemán Hempel, con la intención de mostrar que la inducción científica no tenía que resultar intuitiva, sino que más bien podía resultar lo contrario. Desde entonces se ha derramado mucha tinta sobre este asunto, y es probable que se siga haciendo. Filósofos y lógicos de la talla de Quine se han interesado por el asunto, y en el caso concreto de este lógico opinaba que dicha observación - la de ver una vaca marrón - no reforzaba para nada la conjetura sobre el color de los cuervos.

Habiendo advertido sobre el hecho de que se trata de una cuestión polémica paso, a continuación, a exponer mi punto de vista sobre la cuestión.

La conjetura de que “todos los cuervos son negros” es equivalente a la conjetura de que “ningún objeto no negro es un cuervo”. En efecto, es fácil ver que si existen objetos que llamamos cuervos, de los cuales suponemos que todos son negros, esto equivale a suponer que ningún objeto no negro puede ser un cuervo. De igual manera, la suposición de que ningún objeto no negro pueda ser un cuervo, exige suponer que todos los cuervos han de ser negros. Si la prmera conjetura implica la segunda, y viceversa, ambas son equivalentes, o, lo que es lo mismo, son intercambiables. Por tanto, de la misma forma que observar un nuevo cuervo negro “refuerza” la conjetura de que todos los cuervos son de este color, la observación casual de que un nuevo objeto no negro resulta no ser un cuervo debería  ”reforzar” la conjetura de que ningún objeto no negro es un cuervo, y por ende, la proposición equivalente a ésta, la de que todos lso cuervos son negros. En este sentido, la observación casual de una vaca marrón debería “reforzar” la conjetura de  que todos los cuervos son negros.  Sin embargo, resulta absolutamente contraintuitivo, tal como Hempel pretendía ilustrar.

La magia de los números

Creo que fue Krönecker quien dijo que los números naturales eran cosa de Dios, mientras que el resto eran cosa de los hombres. Una vez definida la sucesión de números naturales, con la suma y el producto de números, hay toda una infinidad de propiedades que parecen ajenas a nuestra definición. Parece como si nosotros con nuestra definición, lo que único que hubiéramos hecho, es darle apariencia formal a una “realidad” que estaba ahí, independientemente de nosotros.

Los números primos están ahí, con numerosas propiedades aún por descubrir, desafiantes a nuestras definiciones. Es como si los números nos dijeran: “nos habéis definido, pero ahora os toca descubrirnos”. Hay ahí toda una serie de “verdades” por descubrir que permanecen muy ocultas, y que en modo alguno parecen derivarse de nuestras definiciones. De hecho, para demostrar alguna de estas verdades, ha hecho falta salirse del campo de los números naturales, penetrar en el campo de los números reales, de las funciones, de los números complejos, y utilizar ideas muy profundas del análisis matemático. Fue así como Wiles consiguió la medalla Fields por el teorema de Fermat. Hay muchísimos hechos, como la primera conjetura de Goldbach, que afirma que todo número mayor o igual que 4 es igual a  la suma de dos números primos, que no se han demostrado.  La segunda conjetura afirma que todo número mayor o igual que 9 es la suma de tres números primos.

Se llama número perfecto a un número natural igual a la suma de sus divisores propios (que son aquéllos distintos del propio número). Por ejemplo, el 6 es un número perfecto, porque es la suma de sus divisores propios: 1, 2 y 3. Hay una conjetura no demostrada que dice que todo número perfecto es par, y se ha comprobado para una enorme cantidad de números perfectos.

Las preguntas que se plantean en el campo de los números naturales son claras, directas y sencillas, pero entrañan una dificultad extraordinaria, que ha ocupado la atención de los matemáticos más geniales. Quizás este “mundo propio”, en el que parecen vivir estos números, fuera lo que explicara la famosa frase de Krönecker, que citamos al principio.

Esto que sucede con los números naturales no sucede con los racionales, ni con los reales, aunque también haya teoremas que entrañen mucha dificultad. La geometría, como ya demostró Euclides, se aborda con mucha mayor sencillez desde las propias definiciones. Los teoremas se muestran mucho más cercanos a lo definido que en el campo de los naturales.

Esta dificultad intrínseca de estos números dio lugar a que Popper, y algunos otros filósofos con anterioridad, defendieran la existencia de un tercer mundo de proposiciones objetivas, distinto del mundo físico y del mundo mental. Popper no dejó suficientemente claro qué debía entenderse por ese mundo 3 del que nos hablaba, pero sí dejó claros algunos de sus contenidos. Así, todas aquellas proposiciones verdaderas, aunque nunca lleguen a ser descubiertas, forman parte de ese mundo 3. De ahí esa autonomía de ese mundo 3, respecto de nosotros. Para Popper, aunque el mundo 3 es una creación humana, éste crea a su vez su propio campo autónomo. Sería el caso de las numerosísimas conjeturas por descubrir, una vez definidos los naturales.

Este mundo 3 nos hace pensar en que, en cierto modo, somos libres para definir esto o aquellos, pero una vez definidos, aquellos entes se nos escapan. Siempre se nos dijo que la matemçatica la inventaba el hombre, mientras que el mundo lo tenía que descubrir. Ahora no está tan claro, y parece que en determinados campos, como el de los números naturales, como determinados juegos, etc,etc., se empieza definiendo, y el mundo que se crea tiene que ser descubierto.

Estas ideas, lógicamente, han alimentado el platonismo de muchos matemáticos y filósofos, que han querido ver en ese inmenso mundo ignoto de “verdades” por descubrir a partir de nuestras definiciones un tercer mundo con vida propia.

Aquí queda esto como motivo de reflexión.

El infinito

“Pensar” el infinito produce un poco de vértigo, porque cuando parece que estamos a punto de acabar todavía nos queda un poco más, y de nuevo otra vez a empezar. Es el cuento de nunca acabar. Por eso, de una vez por todas: no volvamos a “pensar” en el infinito. Nosotros sólo podemos pensar en lo finito, y sin alejarnos mucho, y todo lo que queramos saber del infinito tendrá que ser por medio de lo finito.

Desde hace mucho tiempo se sabía que en una sucesión, tal como 1,4,9,16,25,36,…llegaría un momento en que sus términos serían mayores que cualquier número prefijado, y cuando esto ocurría decíamos que esa sucesión tendía a infinito. De la misma forma, una función, tal como y = 1/x, se haría mayor que cualquier número prefijado a medida que x se acercase, mediante números positivos, a cero. Cuando esto ocurriera diríamos que la tal función tiende a infinito cuando x tiende a cero. El lector habrá advertido que no hemos definido lo que es “tender a “, pero eso no es lo importante ahora. Lo único que importa es que podemos hablar de infinito, de que una sucesión o una función tienden a infinito, si sus valores se hacen mayor que cualquier número M, por grande que éste sea. Por tanto, ya no tenemos que “pensar” el infinito, sino demostrar que los valores de la sucesión, o de la función, se hacen mayores que cualquier número M. De una forma parecida, aunque más precisa, se definió el infinito potencial, el “tender hacia infinito”.

Sin embargo, el infinito actual, los conjuntos que contienen infinitos términos, como el conjunto de los números naturales, el de los puntos de un segmento, el de los puntos de un cuadrado, el de los números complejos, etc, etc., se incluían todo en un mismo saco, y se decía que contenían infinitos elementos. A Cantor, en el S.XIX, se le ocurrió extender la definición de cardinalidad de un conjunto a conjuntos infinitos, y dijo que dos conjuntos tenían el mismo cardinal si se podía establecer entre ambos una correspondencia biunívoca ( una correspondencia uno-uno entre los dos conjuntos ). Nos llevamos la sorpresa de que el conjunto de los números pares, por ejemplo, y el de los números naturales, tienen el mismo cardinal.

Esto contradice el principio aristotélico, de que “el todo es mayor que la parte”. Parecía un principio tan claro, y se nos viene abajo. Pues sí, pero ya era hora. Nos resultaba tan claro porque estábamos extendiendo nuestra intuición de lo finito a lo infinito. Ese principio sólo es válido para los conjuntos finitos. De hecho, a partir de ahora vamos a definir los conjuntos infinitos como aquellos que se pueden poner en correspondencia biunívoca con alguna de sus partes, y vamos a definir como conjuntos finitos aquéllos en que lo anterior no es posible.

Esta idea de Cantor, aparentemente simple, encierra una gran profundidad, una gran originalidad y una extrema fecundidad. De entrada nos permite comparar los diferentes conjuntos infinitos, que antes estaban todos en un mismo saco. Así, podemos saber, por ejemplo, que el conjunto de los números racionales ( las fracciones ) se puede poner en correspondencia biunívoca con el de los naturales. A la cardinalidad de estos conjuntos, y a la de todos aquellos que se puedan poner en correspondencia biunívoca con ellos, le llamó Cantor Aleph 0. También podemos saber que los números reales no se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales. A la cardinalidad de este nuevo conjunto infinito, le llamó Cantor Aleph 1.

Es posible conocer, también, que el número de puntos de un segmento tiene la misma cardinalidad que todos los puntos de la recta, y que el número de puntos de un cuadrado, o que el número de puntos de un cubo. También podemos saber que el número de números irracionales tiene por cardinal Aleph 1.

Si un polinomio de grado n lo igualamos a cero, tenemos lo que se llama una ecuación polinómica. Llamamos número algebraico a aquel que es solución de alguna ecuación polinómica, y número trascendente al que no lo es. Algunos números trascendentes famosos son el número e, el número pi, etc. Desde Cantor, y gracias a él, sabemos con facilidad que el cardinal de los números algebraicos es Aleph 0, y el de los trascendentes Aleph 1.

Durante mucho tiempo, Cantor estuvo intentando demostrar la conjetura del continuo, que establecía que entre Aleph 1 y Aleph cero no existía ningún conjunto con una cardinalidad intermedia. No lo logró. No fue hasta principios de los 60 del S.XX,  cuando Cohen demostró que dicha cuestión era un indecidible en la teoría de conjuntos. Podemos añadir un nuevo axioma que diga que hay un cardinal intermedio, o bien añadir un nuevo axioma que afirme que no lo hay, y ambos sistemas serán consistentes, aunque obviamente incompatibles entre sí.

Excepto el teorema de Cohen, el resto de las afirmaciones sobre cardinalidad vertidas en este artículo están al alcance del lector, algunas de ellas no exentas de esfuerzo. Espero que esto último sirva para ilustrar la enorme fecundidad de la idea de Cantor, y que este artículo sea un homenaje más a este genial matemático.

Es falso, pero ¡qué bien funciona!

Galileo dijo que la naturaleza estaba escrita en lenguaje matemático, y desde entonces muchos son los que han repetido la misma frase de forma mecánica, sin pararse a pensar lo que están diciendo.

Ha sido tan útil, y tan generalizada, la aplicación de la matemática a la Física que uno podría sentirse tentado a pensar algo así. Sería, sin embargo, una visión idealista de la realidad que no tiene mucho fundamento. La naturaleza no contaba con nosotros, ni sabía qué tipo de matemáticas inventaríamos. Resulta más natural pensar al revés: los conceptos matemáticos fueron creados por el hombre para comprender mejor la naturaleza. De esta forma obviamos la estereotipada explicación de que la naturaleza estaba contando con nuestra aparición en el planeta Tierra, poco humilde por nuestra parte.

Así debieron surgir los números, tras el esfuerzo de muchas generaciones, y los primeros conceptos geométricos. Ni lo uno ni lo otro existen en la naturaleza, pero ya hemos visto lo útiles que nos han resultado.

A los antiguos egipcios, las inundaciones periódicas del Nilo los impulsaron a desarrollar el concepto de área y a calcular las áreas de los terrenos que podían quedar borrados por las mismas. Fueron los primeros balbuceos de la matemática aplicada. Más tarde, en Grecia, Euclides, sistematizó en un cuerpo teórico toda la geometría conocida en una forma parecida a como se estudia - o como se estudiaba - en los colegios. Fue el comienzo de la matematica abstracta, teórica, sin vistas a una aplicación inmediata.

En la mecánica clásica, newtoniana, resulta muy útil el concepto de sólido rígido. Se trata de un concepto matemático, que tampoco existe en la realidad. Se define como un conjunto de n partículas tal que dos cualesquiera de éllas están siempre a la misma distancia entre sí. Sabemos que los átomos están continuamente vibrando ( salvo, teóricamente, en el cero absoluto ) y que el sólido rígido es una ficción. Sin embargo esta abstracción, esta modelización de la realidad, nos permite aplicarle un imponente aparato matemático creado a a tales efectos. El asunto es que, a los efectos del estudio del movimiento, nuestra ficción funciona, ¡ y cómo lo hace !.

A nuestra escala de velocidades, incluida la de los cohetes espaciales, la mecánica de Newton funciona perfectamente aunque sepamos, desde Einstein, que los tiempos y los espacios dependen de la velocidad del observador que los mide.

Las matemáticas aplicadas son modelizaciones de la realidad que, dependiendo del ámbito en que nos movamos, se adaptan mejor o peor, o, lo que es lo mismo, predicen mejor o peor lo que va a suceder y tienen, por tanto, mejor o peor poder explicativo.

Karl Popper introdujo para los modelos el concepto de falsabilidad, requisito indispensable para que cualquier modelo científico de la realidad pudiera ser refutado.  Desde este punto de vista, teorías tan importantes como el psicoanálisis o la teoría de la evolución, no pueden ser incluidas como teorías científicas por no ser falsables, según el propio Popper. Cualquier modelo que haya sido falsado debe ser abandonado.

 Hoy somos algo menos restrictivos, y los modelos no son abandonados por el mero hecho de haber sido falsados. La mecánica de Newton ha sido falsada por el experimento de Michelson y Morley, y la teoría de la relatividad se justa más a los hechos observados. Sin embargo Newton sigue vigente, y a la escala de velocidades en que nos movemos el modelo funciona extraordinariamente bien, aunque sea falso.

Probablemente lo que llamamos verdadero, o falso, es una forma de interacción entre nuestro aparato perceptor y la realidad. Decimos que una teoría aparece como verdadera cuando es capaz de explicar, y de predecir, fenómenos que nuestro aparato perceptor pondrá de manifiesto. Quizás otros seres inteligentes, dotados de otro aparato perceptor, obtuviesen otra teoría diferente, igualmente válida para explicar todos los fenómenos que su aparato peceptor pudiera captar. ¿Cuál de las dos teorías describiría, entonces, la realidad?. Podríamos decir que las dos, y podríamos decir que ninguna. Quizás la realidad no sea más que eso: nuestra mejor aspiración de descripción de la naturaleza.

Hemos explicado que las matemáticas surgieron como modelos para explicar la naturaleza, y que pueda haber - y de hecho hay - muchas matemáticas diferentes y muchos modelos explicativos, con mayor o menor éxito.

En otro escrito de este mismo blog, titulado Cerebro y Lógica, se defiende la hipótesis de que la Lógica, sin embargo, es algo universal, a diferencia de las matemáticas.

La Lógica, la Matemática, el razonamiento, el discurso y la cháchara

En este escrito me propongo caracterizar lo que entiendo por estos conceptos.

A mí me interesa, particularmente, esclarecer brevemente las relaciones
entre las palabras arriba citadas.

La Lógica, ya sea la clásica, la moderna bivalente, la trivalente, las
polivalentes, las difusas, o cualesquiera otras que se puedan inventar,
tratan de establecer una serie de reglas formales para el razonamiento
correcto.

La Lógica opera paso a paso, y da cuenta de todos y cada uno de
los supuestos implicados en nuestro corriente razonar correcto. Llamo
correcto al razonamiento seguro, al que contiene una probabilidad cero de
error, para diferenciarlo del razonamiento corriente, el más frecuente, que
sólo puede ser probable en un grado mayor o menor.

La lógica es pensar sobre nuestro pensamiento, y encontrar y analizar las reglas que lo sustentan. Un razonamiento lógico realizado por un lego puede llevarle a un lógico veinte
pasos desmenuzarlo. Desde este punto de vista considero a la Lógica una
materia absolutamente estéril, lo cual no quiere decir carente de interés.

Aquellos que se zambullan en el campo de la Lógica pensando que así
dispondrán de una herramienta imprescindible para la discusión dialéctica, y
que podrán aplicarla con éxito a cualquier debate están absolutamente
equivocados. Sí puede, sin embargo, prevenir contra la inmensa cantidad de
cuestiones que aceptamos sin el menor espíritu crítico.

De la Matemática muchos pensaron que podría expresarse toda ella en términos
lógicos, y ser así una extensión de la misma. Esto sucedió en el S.XIX, tras
la aritmetización del análisis por Cauchy, Dedekind y otros, y tras la
invención por Cantor de la noción de conjunto y el primer cálculo lógico
moderno realizado por Frege. Hoy nadie piensa así, y la matemática se
considera algo mucho más amplio que la mera Lógica.

Sin duda es algo mucho más fecundo, y nadie puede estudiar Ciencias, en un sentido amplio, sin disponer de esta potentísima herramienta. Incluso el tratamiento de nuestra
incertidumbre, la medición de la misma, la realizamos con un aparato que nos
brinda la matemática: la teoría de probabilidades. El enorme grado de
abstracción de sus teorías y estructuras hacen que cada vez más campos de la
realidad se beneficien del conocimiento de esta disciplina. Por lo tanto la
matemática no puede resultar más útil, si al campo de las ciencias nos
referimos.

El razonamiento es algo muy general, difícil de definir, difícil de
delimitar con precisión, pero que lo aplicamos con mayor o menor acierto a
la mayor parte de nuestras actividades. De hecho creo, con fundamento, que
algunos animales “razonan” a su manera, mientras que muy pocos - yo no
conozco a ninguno - han demostrado el teorema de Gödel o el cálculo de
variaciones. El razonamiento es algo mucho más general, mucho menos preciso,
mucho menos exigente, mucho más equívoco, muy sometido a la prueba de
“ensayo y error”, pero al mismo tiempo el de más amplio ámbito de
aplicación, el de uso más generalizado.

No deja de ser curioso que el más imperfecto sea el de mayor amplitud de aplicación, y el más perfecto - la Lógica - el de un ámbito de aplicación mínimo. Además ésta - la Lógica - no existiría sin el requisito previo de ese razonamiento imperfecto al que
ahora me refiero. Este razonamiento común, diferente del razonamiento lógico
común - que no contiene error, si está bien realizado -, sería el más
interesante de analizar pero sospecho que requeriría muchos capítulos.

El discurso, oral o escrito, es la expresión articulada de nuestros
pensamientos. Una característica crucial de éste es, pues, el orden en la
presentación de las ideas, la coherencia de las mismas y su capacidad
interpretativa o explicativa del objeto de nuestro discurso. No me refiero
con discurso a una mera exposición ordenada de datos, sino también a una
interpretación de los mismos que permita explicar la realidad objeto del
discurso, y también, si es posible, una predicción más o menos general de
fenómenos que nuestro discurso pueda prever. Esto no siempre tiene por qué
ser posible, pero ayudaría a falsar nuestro propio discurso, dotándolo de
esta forma de un espíritu más científico y de un talante - esta vez sí -
menos dogmático.

La cháchara es lo más corriente, lo más común. No precisa de orden ni de
concierto, ni de predicción, ni de falsación, ni de gaitas. Sólo precisa de
lengua o  de teclado, de deseos de espetar algo,  y de ausencia de todo
espíritu crítico con uno mismo. También precisa de razonamiento, aunque éste
presente tintes más cercanos a los primates que al aspirante a “homo
sapiens”.

Los humanos y los zombis

Llega un viajero a una isla en la que habitan dos tipos de personajes físicamente indistinguibles por el aspecto: los humanos y los zombis.

 Los primeros,  los humanos,  siempre dicen la verdad,  mientras que los segundos,  los zombis,  siempre mienten. Además,  todos ellos,  humanos y zombis,  responden con “va” y “da” para afirmar o negar,  sin que sepamos si “va” es “sí” o es “no”.

Necesitamos,  para funcionar en la isla,  obtener rápidamente  respuestas válidas,  por lo que lo primero que tenemos que hacer es averiguar si el individuo con el que hemos topado es humano o zombi. Asimismo,  debemos saber lo que quiere decir “va” o “da”.

 Con una pregunta simple ( que no implique 2 preguntas en una ) debemos averiguar el significado de las sílabas “va” y “da”,  y con otra pregunta,  simple también,  si el individuo que tenemos delante es zombi o es humano.

Están prohibidas preguntas del tipo: ¿ qué me dirías si yo te preguntara…..?. Se trata de una pregunta doble,  porque le estoy preguntando lo que me diría si yo le preguntara algo.

 Tenéis que reconocer,  amigos lectores,  la utilidad del pasatiempo,  porque mañana mismo es muy probable que os ocurra algo parecido,  y entonces ¿qué?.

El dilema del prisionero

Este curioso dilema resulta aún más curioso cuando uno conoce que ha suscitado respuestas diversas.

Dice así:

Entre tres condenados a muerte, uno de ellos va a ser indultado mediante sorteo. La noche anterior a la ejecución uno de los condenados, que ya sabe que se conoce quien es el indultado, le dice al carcelero: sé que te está prohibido darnos información, pero yo ya sé que uno de los otros dos va a ser condenado; por tanto, si me dices cuál tampoco me estás aportando información que yo ya no supiera. El carcelero lo consideró y le respondió: Andrés no es el indultado.

La pregunta es:

¿Cambia en algo su probabilidad de ser indultado?

Si se le permitiera, ¿le convendría adoptar la suerte de Juan, el otro preso?

Fermat versus Gödel

Fermat fue un jurista y matemático francés del S.XVII que hizo importantes aportaciones a la matemática, entre otras a la geometría analítica y a la teoría de probabilidades, teoría esta última que contribuyó a crear junto con su compatriota Blaise Pascal. Sin embargo, su fama mundial como matemático se debe a su famosa conjetura, que establece que no es posible encontrar 3 números enteros que cumplan la siguiente igualdad:

xⁿ + yⁿ = zⁿ, para cualquier n > 2.

 Además, afirmó que había encontrado la demostración pero que no le cabía en el margen.

Gödel fue, quizás, el lógico más importante de todos los tiempos. Su famoso teorema de incompletitud establece que ningún sistema formal suficientemente expresivo ( como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la aritmética ) puede ser, a su vez, consistente y completo. Si es consistente ( no contradictorio ) siempre habrá proposiciones en el sistema sobre las que no se pueda afirmar su veracidad o falsedad.

Esto fue todo un mazazo, en su época, para el programa de Hilbert que pretendía desarrollar algoritmos para demostrar todos los teoremas en un sistema formal. Al principio de incertidumbre de  la física, de Heisenberg, se le sumaba ahora otra incertidumbre en la axiomática matemática. Además, Gödel, para no dejar opción a los intuicionistas, encabezados por Brouwer, en su demostración utilizó un método constructivo, creando una proposición cuya verdad o falsedad no se podía demostrar en el sistema.

 En el año 1995 Andrew Wiles consiguió demostrar el teorema de Fermat, utilizando métodos matemáticos muy complejos que eran desconocidos en la época de Fermat.

 Cabría preguntarse si sobre Wiles, que tantos años le dedicó al teorema, y por el que le concedieron la medalla Fields, el equivalente al Nobel de Matemáticas, que se concede cada 4 años, planeó en algún momento la sombra de Gödel. ¿Se preguntaría Wiles si se estaría enfrentando a un indecidible de Gödel, a algo que nunca se podría demostrar?

Peor aún: ¿ Se preguntaría Wiles si llegaría alguien que demostrara que la conjetura de Fermat era un indecidible de Gödel ?. Si así fuera todo su trabajo de tantos años quedaría arruinado, e incluso podría quedar en ridículo ante la comunidad matemática internacional.

 Por fortuna se puede demostrar que esto último nunca podría haberse hecho, con lo que Wiles podía andar tranquilo en este sentido.

 Lo más impresionante de todo es que, en este tema tan abstruso, el lector tiene la última palabra, y a él le corresponde demostrarlo. Además, de una forma bien sencilla,  y sin ningún conocimiento técnico.

Como siempre, esta curiosa cuestión la demostraremos en otro escrito de este blog.

Cerebro y Lógica

La pregunta, a cuya respuesta nos queremos aproximar en este escrito es la siguiente:

¿Nuestra Lógica es un producto de nuestro cerebro?  Dicho de otro modo: ¿otros cerebros inteligentes podrían desarrollar otras Lógicas?

 Sabemos que nuestro cerebro ha desarrollado varias Lógicas: la Lógica binaria, la difusa, la probabilística, y otras. Sin embargo, aquí, para discernir y poder encontrar una respuesta a nuestra pregunta debemos preguntarnos por la naturaleza de la Lógica Formal.

No resulta concebible que otros seres inteligentes - supongamos, por el momento, que entendemos lo que queremos decir con “inteligentes” -, y que entendieran nuestro lenguaje, tuvieran otra Lógica que les permitiera concluir que “el caballo blanco de Santiago debe ser negro”, ni que ” esto es un hombre y no es un hombre” es verdadero.

 Estos ejemplos, que se podrían multiplicar, muestran que la Lógica es algo íntimamente vinculado al lenguaje que la desarrolla.

 Recuerdo que había otro principio de la Lógica aristotélica que establece que “el todo es mayor que la parte”. No creo, sin embargo, que esto sea un principio lógico - aunque lo pueda parecer -, sino empírico. De hecho, no se cumple para conjuntos infinitos, pues sabemos que el conjunto de los números pares, por ejemplo, se puede poner en correspondencia biunívoca con el de los números naturales.

 Si entendemos la Lógica como un producto no contingente, sino como un producto necesario de nuestro lenguaje, la pregunta queda reducida a  si los diferentes tipos de lenguaje pueden producir Lógicas contradictorias entre sí.

 Pero: ¿Qué es primero: la Lógica, o el lenguaje?. ¿Acaso es posible estructurar un lenguaje sin una Lógica previa?. O, ¿ se van haciendo el uno al otro, la Lógica al lenguaje y el lenguaje a la Lógica?

Sea como fuere, los diferentes lenguajes deben poseer una estructura linguística que subyace a los mismos, y que debe ser el objeto del estudio de la lingüística. Esto lo afirmo con algún riesgo, porque mis conocimientos de linguística son muy escasos. Creo también que cualquier lenguaje, suficientemente expresivo, debe ser capaz de desarrollar una Lógica, y que las Lógicas desarrolladas por lenguajes diversos no son sólo compatibles, sino superponibles en muchos aspectos.

 Creo, por tanto, y resumiendo, que la Lógica es un producto universal de cualquier cerebro capaz de desarrollar un lenguaje, y no algo contingente a un cerebro o a un lenguaje concreto.

 Por supuesto, algunos lenguajes me parecen más apropiados para desarrollar contenidos lógicos que otros. En este sentido el idioma inglés me parece mejor estructurado para la Lógica que el español, por ejemplo, aunque por ser ambos suficientemente expresivos habrían desarrollado la misma Lógica, aunque no hubiera habido contacto alguno entre ambas lenguas. Un marciano inteligente, ídem de ídem, aunque su física, su matemática y todo lo demás difiriera en todo de lo nuestro.

El cerebro, producto de la evolución y de la adaptación al medio, sería el hardware, la Lógica sería el sistema operativo obligado - más o menos como el Windows de Microsooft -, y todos los demás contenidos de la mente serían los programas.

AXIOMÁTICA Y SISTEMAS FORMALES

De mis primeros escarceos geométricos recuerdo que se definía la palabra axioma como “aquellas verdades evidentes por sí mismas”. No me he tomado la molestia de comprobar la definición del D.R.A.E. pero no tiene relevancia para este artículo; el lector interesado puede consultarlo por sí mismo y, a la luz de este artículo, comprobar si se trata de una definición ajustada. Esa definición de nuestros primeros estudios habla de “verdades”, y también de “evidentes por sí mismas”.

En una primera aproximación tiendo a pensar que las “verdades” han de ser comprobables o verificables, con lo cual los axiomas debieran referirse a cuestiones empíricas; sin embargo un enunciado como “todos los quaks negros son negros” ha de ser verdadero, existan o no existan los quaks, puesto que su verdad no depende de su comprobación, sino de la estructura gramatical del enunciado; a saber: el predicado es parte del sujeto.

Así pues, las “verdades” aparte de referirse a enunciados verificables también pueden hacer referencia a lo que podríamos llamar “verdades lógicas”. No es el objeto hablar aquí de lo que entendemos por este concepto pues nos desviaríamos del objeto del presente artículo, pero sí señalar que son enunciados tautológicos, es decir, necesariamente verdaderos, mientras que los enunciados empíricos – los verificables – serán contingentemente verdaderos; es decir su verdad deriva de su comprobación efectiva, mas no de ningún principio metafísico que lo haga necesariamente verdadero. Establecida esta diferencia – esencial a mi juicio – entre verdades contingentes y verdades necesarias analizamos la segunda parte de la definición.

Cuando se nos dice “evidentes por sí mismas” se supone que se nos está diciendo que cualquier persona puede ver la verdad de estos enunciados por inmediatos que aparecen a la “inteligencia”. Baste con decir que lo que es evidente para ti, lector, puede no serlo para mí, y viceversa; esto implica un componente de subjetivismo que impregna la definición.

El V postulado de Euclides, enunciado en su forma original, no es precisamente un modelo de evidencia. Precisamente lo complicado del mismo hizo pensar a muchos matemáticos que se trataba de un teorema, por lo que se realizaron numerosos intentos, infructuosos, para demostrarlo. Estos desarrollos, como veremos más adelante, desembocaron en las geometrías no euclídeas

Una vez señaladas las deficiencias de la definición antigua de axioma quisiera hacer un paréntesis para referirme brevemente a la historia. Es bien sabido que el primer gran sistematizador de la geometría fue Euclides. Los egipcios ya tenían conocimientos geométricos dispersos -todos ellos con una orientación eminentemente práctica-, utilizados principalmente para la determinación de áreas de tierras que quedaban borradas por las periódicas inundaciones del Nilo. 

Si bien Euclides sistematizó y axiomatizó estos conocimientos, dándoles un carácter formal, él pensaba que su geometría reflejaba las propiedades del mundo real; en ningún momento trató de crear un exclusivo juego de conceptos lógicos.

Definió conceptos como “punto”, “recta” y “plano” para, a continuación, enunciar los “axiomas” que relacionaban estos conceptos. Es decir, para Euclides, sus axiomas eran verdades evidentes por sí mismas sobre unos conceptos previamente definidos. Todo aquel que entendiese, por “punto” y por “recta”, lo mismo que Euclides parecía razonable que aceptase como verdadero el axioma de que “por dos puntos pasa una única recta”. Los axiomas de Euclides pretendían describir las propiedades de nuestro espacio de una forma “evidente” y sistemática. Fue tal el éxito de este desarrollo que su libro, “Elementos de Geometría”, fue todo un paradigma de modelo de conocimiento, hasta el punto de que en el mundo antiguo – prácticamente hasta Galileo – el método experimental estuvo muy desprestigiado aunque lógicamente existieron honrosas excepciones.

Cualquier historiador de la Ciencia considera este libro como uno de los grandes hitos del pensamiento.

Antes de seguir avanzando por esta senda que nos hemos trazado es preciso hacer un paréntesis obligado, y decir algunas palabras sobre el concepto de definición.

Existen diferentes formas de definir algo; una es la que se utiliza cuando consultamos un diccionario: el concepto definido se delimita en función de otros conceptos ya conocidos. Es la forma común de aprender nuevos conceptos cuando somos adultos; es la llamada definición verbal. Obviamente este proceso no se puede llevar hasta el infinito, y habrá un conjunto de conceptos básicos que tendrán que ser aprendidos sin el diccionario. Es el modo de aprendizaje de los niños, los cuales no conocen palabra alguna, y todo les debe ser mostrado de forma que asocien un sonido a una imagen. Es la llamada definición ostensiva.

Euclides dio una definición verbal de punto, recta y plano; así, recta era “ una serie de infinitos puntos alineados”. Definir “recta” en función de “alineados” y de “infinito” es trasladar el problema de lo definido a la definición. Por otra parte, si “definir” supone delimitar de forma precisa la naturaleza de lo definido, la definición nos permite un exacto conocimiento de lo definido. En este sentido, pues, los axiomas serían una consecuencia lógica de las definiciones y tendrían el carácter de teoremas. Es decir: si todo quedara definido desde el principio los axiomas sobrarían, pues se podrían deducir de las definiciones.

Dado que no es posible definirlo todo en forma verbal habrá que tomar unos conceptos como “primitivos”, en el sentido de no definidos explícitamente, no definidos verbalmente.

El sistema que empleó Euclides adolecía de dos defectos, a saber: haber intentado una definición explícita de conceptos “primitivos”, no reductibles a conceptos más simples, y proponer axiomas sobre conceptos previamente definidos. Esto, sin embargo, no debe restarle grandiosidad a su obra.

La axiomática moderna evita definirlo todo – por imposible -, y adopta una serie de conceptos “primitivos” que no define explícitamente. Relaciona estos conceptos mediante una serie de relaciones – axiomas -, y serán éstas las que constituirán una definición implícita de aquéllos. En esta nueva versión sí son necesarios los axiomas, pues la carencia de definición verbal previa de los conceptos no ha caracterizado aún su naturaleza; serán los axiomas los que nos caractericen aquellos entes que puedan ocupar el lugar de los conceptos “primitivos”. Dicho de otra forma: aquellos entes concretos que, sustituyendo a los conceptos “primitivos”, verifiquen las relaciones expresadas en los axiomas constituirán un “modelo” del sistema axiomático.

Podríamos decir que los axiomas no “definen” unos entes concretos, unos conceptos “primitivos” concretos, sino toda una serie de entes o de conceptos “primitivos”. Los axiomas no versan sobre nada concreto, sobre nada definido explícitamente, sino sobre una “vaguedad” de conceptos “primitivos” restringidos exclusivamente por las propiedades que los axiomas enuncien. ¿De qué estamos hablando entonces? No lo sabemos.

Esta abstracción progresiva de las matemáticas y de los sistemas axiomáticos hizo exclamar a Bertrand Russell: “La matemática es la ciencia en la que no se sabe de qué se habla ni siquiera si lo que se dice es verdadero”. Y así es, en efecto. Si encontramos un modelo para nuestros axiomas entonces, y sólo entonces, podremos saber de qué hablamos y, eventualmente, verificar si los resultados son verdaderos.

A continuación vamos a establecer los rudimentos de un sistema axiomático para plasmar lo explicado anteriormente.

1º. “Gomy” es un “guelfo”.
2º. A todo “guelfo” le corresponde un único “guelfo”.

3º. Si dos “guelfos” son iguales y son los correspondientes de otros dos “guelfos” , éstos también son iguales.

4º. Gomy” no es el correspondiente de ningún “guelfo”.

5º. Si tenemos un conjunto al que pertenece “Gomy” y al que pertenece el correspondiente de un “guelfo” siempre que el “guelfo” pertenezca al conjunto, ese conjunto es el conjunto de los “guelfos”.

Este aparente galimatías establece relaciones entre “guelfos” y “Gomy”, que serían los conceptos “primitivos”. La relación “corresponderse” también queda indefinida; “dos” e “iguales” también guardan su sentido habitual, a no ser que se especifique algo en contra.

Si sustituimos “guelfo” por ladrillo, “Gomy” por primer ladrillo, “corresponderse” por estar situado encima en la misma posición, “dos” por su sentido habitual, e “igual” por ser el mismo ladrillo, los axiomas quedarían así:

1º Todo ladrillo tiene encima un ladrillo.
2º Hay un ladrillo al que llamamos primer ladrillo.
3º Si dos ladrillos son el mismo ladrillo, los ladrillos a que corresponden éstos también son iguales
4º El primer ladrillo no está encima de ningún otro ladrillo.
5º Un conjunto al que pertenece el primer ladrillo y al que pertenece el ladrillo de encima cuando pertenece un ladrillo dado es el conjunto de los ladrillos.

Como vemos, una pila vertical infinita de ladrillos constituiría un modelo de nuestro sistema axiomático.

De igual forma, los números 1,2,3,4,5,6,7,8,………, es decir, la aritmética de números naturales, sería otro modelo válido de nuestro sistema axiomático.

También 7,8,Pepe,9,10,11,12,Juan,13,14,15,16,17,18,19,20.

Sin embargo 1,2,3,4,5,6,7,8,8,9,10,11,12,13,14,………, no valdría, pues violaría el 3º axioma.

Un sistema axiomático como el anterior tiene una infinitud de modelos. La enorme abstracción del sistema axiomático nos brinda la oportunidad de aplicar al modelo los resultados – teoremas – demostrados para el sistema. La cuestión de si un sistema axiomático es verdadero o no, carece de sentido. A un sistema axiomático, como veremos más tarde en detalle, le son aplicables los calificativos de completo o incompleto, consistente o inconsistente. La cuestión de si es verdadero o no – en el sentido de verificable en nuestro mundo -, depende de que el modelo se ajuste más o menos perfectamente a los axiomas. La geometría euclídea no es ni más verdadera, ni más falsa, que la de Lobachebsky o Riemann; será más o menos aplicable a nuestro espacio real, según que los axiomas de una o de otra geometría se adapten más o menos a nuestro universo.

Puede ser que un modelo escogido, entre los muchos posibles, no sea el adecuado, y otro sí lo sea. En nuestro sistema anterior, y a los propósitos de contar, el 1,2,3,4,5,6,7,…….., se muestra mucho más apropiado que la pila de ladrillos, aunque ésta también cumpla – como vimos – los axiomas.

El motivo de haber elegido términos como “guelfo” o “Gomy” para designar a los conceptos primitivos es para aislar la mente del lector de cualquier palabra que pudiera resultarle familiar; de esta manera será de esperar que asigne a los conceptos “primitivos” únicamente aquellas propiedades autorizadas por los axiomas, eliminando las connotaciones conocidas que pudieran tener otros términos comunes. 

Solamente unas breves palabras para exponer las ideas históricas que subyacen al nacimiento de las geometrías no euclídeas. Euclides enunció su V axioma en una forma bastante complicada – este axioma es el equivalente a que “por un punto exterior a una recta pasa sólo una paralela -, y este fue el motivo por el que muchos matemáticos pensaron que quizá fuese un teorema, es decir, que se podría demostrar a partir de los anteriores. Numerosos intentos, en este sentido, resultaron infructuosos, por lo que cada vez fue apareciendo más clara la idea de que en realidad se trataba de un axioma. Si fuera un axioma – pensaron – podemos cambiarlo por otro que diga otra cosa y no aparecerá contradicción alguna. Si fuera un teorema, tarde o temprano tendría que aparecer alguna contradicción. Podemos elegir un axioma que diga que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela, o también otro que dijera que pasan infinitas paralelas.

Si se ha comprendido todo lo explicado anteriormente estos axiomas no deben resultar más disparatados que el axioma de Euclides – el que dice que sólo pasa una paralela -. En efecto, puesto que los axiomas son los que definen – implícitamente – a los conceptos “primitivos”, si cambiamos los axiomas, los conceptos “primitivos” que satisfagan a éstos también deberán cambiar. Los axiomas nos resultarán disparatados si seguimos pensando en la imagen visual de “punto”, “recta” y “plano” que satisfacen los axiomas de Euclides. Si pensamos en otro modelo diferente que satisfaga los nuevos axiomas ya no habrá nada disparatado. El hecho de encontrar un modelo para el nuevo sistema de axiomas nos asegura la consistencia del sistema - la no contradicción -, puesto que si hubiese contradicción no podría existir el modelo. Algo que existe no puede ser contradictorio, por el mero hecho de existir. Luego, si encontramos un modelo para el nuevo sistema – con el V axioma modificado – esto significará que dicho axioma no era un teorema, puesto que si así fuera el sistema sería contradictorio y no podría haberse encontrado modelo algunoTanto la geometría de Lobachebsky – no pasa ninguna paralela – como la de Riemann – pasan infinitas paralelas – han encontrado modelos que la satisfacen, por lo que son consistentes – no contradictorias -.

No vamos a entrar en detalles que nos alejarían del objeto del artículo, pero sí señalar que para los modelos en cuestión los entes que ocupan el lugar de los conceptos “primitivos” no tienen nada que ver con el “punto”, “recta” y “plano” al que estamos acostumbrados.

Es frecuente encontrar en los libros de divulgación científica que para Einstein el espacio real es riemanniano. ¿Qué se nos quiere decir con esto? Obviamente, las propiedades que tenga o deje de tener eso que llamamos “espacio real” tendrán que venir dictadas por la observación. Los sistemas axiomáticos son ajenos a la observación y no tienen que ser un reflejo de este “espacio real”. Ahora bien, como dijimos al hablar de los modelos, determinados entes del espacio físico se pueden acomodar más a las propiedades de un espacio de Riemann que a un espacio de Euclides. Estos entes ocuparían el lugar de los conceptos “primitivos” y, en este sentido, solamente en éste, podremos decir que el “espacio real” es riemanniano. Es decir, elegidos ciertos entes del espacio físico, parece ser que el “espacio real” constituye un modelo más adecuado de espacio de Riemann que de Euclides. Esto pertenece al campo de la observación y al campo de la física, y bien pudiera ser que mañana se viera que el mundo real se adapta mejor a otro tipo de espacio, sin que esto afectara para nada a los espacios de Riemann.

Esta especie de circunloquio, en la que repito de diversas formas la misma idea – aún a riesgo de resultar reiterativo -, es un recurso de utilidad cuando uno pretende que lo entiendan; expresar de múltiples formas una idea – por lo general compleja – facilita que más personas sean capaces de captar lo que se expresa, pues lo que para unos resulta ser una expresión feliz y acertada no lo es para otros. Todo sistema axiomático debiera reunir, al menos, dos condiciones para que resultase lógicamente impecable: ser consistente y ser completo. Se dice que un sistema axiomático es consistente cuando es lógicamente no contradictorio, o lo que es lo mismo, cuando las proposiciones p y no p no pueden coexistir en el sistema.

Decimos que un sistema es completo cuando cualquier enunciado sobre conceptos “primitivos”, o sobre conceptos definidos a partir de éstos, puede ser demostrada en el sistema, o, expresado de otra forma, cuando cualquier proposición sobre los conceptos del sistema es, o bien un axioma, o bien un teorema. A principios del S. XX, el más famoso matemático de la época, David Hilbert, se propuso la difícil tarea de encontrar un sistema que permitiese la demostración de cualquier teorema, en la creencia de que esto era siempre posible – demostrarlo todo -.

Gödel demostró que tal propósito era imposible y que cualquier sistema axiomático suficientemente expresivo – tal cual la aritmética o la teoría de conjuntos –, para ser consistente ha de ser incompleto, en el sentido de que habrá proposiciones, indecidibles, que no podrán ser demostradas en el sistema. 

Sistemas axiomáticos más simples, como la Lógica de enunciados de Principia Mathematica, de Russell y Whitehead, como también demostró Emile Post, sí son al tiempo consistentes y completos. Asimismo, en 1920, Hilbert y Ackerman demostraron que la lógica de predicados de Principia Mathematica era consistente, demostrando Gödel en 1930 que tal sistema era, asimismo, completo.

Hemos tratado, de forma muy condensada, temas de suficiente complejidad como para requerir un esfuerzo por parte del lector, y hemos omitido todo el simbolismo inherente al tratamiento de estos temas para facilitar la comprensión conceptual. El tratamiento detallado de sistemas axiomáticos exige la utilización de símbolos que permita expresar las fórmulas del sistema. Este tratamiento, obligado al analizar sistemas concretos, hacen que el hombre culto con deseos de entender rehuya estas lecturas. Para terminar puntualizaré de forma concisa los elementos que debiera reunir todo sistema axiomático. Un sistema axiomático S bien diseñado debe cumplir los siguientes requisitos:

Una lista de las letras y demás símbolos a utilizar en S. Una serie de reglas que establezcan qué complejos de signos son enunciados bien formados en S. Una lista completa de aquellos enunciados bien formados en S que van a ser utilizados como axiomas. Una lista completa de las definiciones utilizadas en el sistema. Una exposición de las condiciones necesarias que debe reunir una demostración, dando por resultado un teorema en S. Una lista completa de las reglas de deducción en S, reglas que determinarán y limitarán los movimientos u operaciones a realizar con los enunciados bien formados de S. En el caso de que puedan utilizarse en S los teoremas de alguna otra rama de la lógica o la matemática, deberá haber una estipulación que así lo especifique.

Hoy en día la mayor parte de las grandes ramas de la matemática se hallan axiomatizadas, y este método ha alcanzado un éxito sin precedentes pues su enorme abstracción le concede una enorme generalidad. Cualquier demostración realizada, por ejemplo, en teoría de grupos, se puede aplicar a la infinidad de modelos de grupo existentes.

Ahora sí acabo, de verdad, para señalar que he procurado en este artículo poner al alcance de los lectores de una forma rigurosa y clara, alejada de los tecnicismos propios de la materia, un tema que es a la vez importante y complejo. Espero haber conseguido, al menos en parte, mi objetivo