De nuevo las matemáticas

Estamos atravesando una grave crisis económica, y las ventajas con las que se nos decía que contaba nuestro sistema financiero, como su solidez, no parecen estar tan claras. La aparente prosperidad económica española no parecía guardar concordancia alguna con el elevado nivel de analfabetismo funcional de nuestro país. De hecho, llegué a pensar, y aún lo pienso en parte, que la prosperidad económica no guarda relación con el nivel de educación del país. En todo caso, como escribí, con el nivel de sus universidades. La educación podía servir más al individuo, al hacerlo más libre y más crítico; en suma, más ciudadano.

Estamos viviendo una época, o al menos me lo parece, en que los protagonistas de la vida pública son los que menos saben, los que menos cosas interesantes tiene que contar, excepto una sarta de banalidades expresadas en un lenguaje torpe y lenguaraz a un tiempo.

Las matemáticas, bien enseñadas, sirven para muchas cosas, y no es menester glosar una vez más aquí todas sus virtudes. Sí me gustaría, sin embargo, analizar una de ellas, quizás la principal para combatir la charlatanería huera que nos acecha por doquier. Una característica esencial del lenguaje matemático es su economía: se utilizan los símbolos, o las palabras, necesarios y suficientes.

Por eso, quizás por eso, las personas versadas en esta materia no utilicen un lenguaje redundante, y todo su lenguaje sea más austero, más preciso, más dotado de contenido real.

En una época como la nuestra, en que continuamente se confunde la anécdota con la categoría, en la que se banaliza lo verdaderamente importante, y se pontifica sobre las estupideces, se hace más necesario que nunca la purificación del lenguaje, entendiendo por ésta la utilización correcta del mismo para expresar ideas, o sentimientos, y no al revés, utilizar el lenguaje y desvirtuarlo, vaciéndolo de contenido, para transformar la realidad. Cuando el lenguaje se utiliza, no para describir la realidad, sino para desvirtuarla, o para ocultarla, nos alejamos de los fines primigenios del lenguaje para caer en una de las mayores abyecciones: desvirtuar la realidad pervirtiendo el lenguaje.

Habrá quien piense que en toda época el lenguaje se ha utilizado para engañar, para intereses espúrios, etc. Sin duda, pero cuando esto se hace de forma sistemática, y con los medios de comunicación de nuestros tiempos, el éxito está garantizado.

Una buena vacuna contra los fines perversos del lenguaje, y que nos procura la máxima inmunidad, es la purificación del mismo, devolviendo a las palabras el auténtico sentido que nunca debieron perder. En este sentido, la pureza del lenguaje matemático, donde no se admite una palabra de más, ni una palabra de menos, me parece un magnífico antídoto para ponerse a salvo de uno de los sinos de nuestros tiempos: la charlatanería, la propaganda, la publicidad engañosa y la manipulación a todos los niveles, en definitiva.

La matemática, clásicamente, se ha venido enseñando para procurar en el estudiante una destreza operativa. Se intentaba, al menos en mis tiempos, conseguir que el estudiante resolviera logaritmos, efectuara límites, derivadas e integrales con soltura, sin pararse demasiado en los aspectos conceptuales. Ambas cosas me parecen importantes, si queremos que la matemática transforme los cerebros en el noble sentido en el que apuntábamos en párrafos anteriores.

La faceta técnica, la destreza operativa, preparará al alumno para cursar con éxito una ingeniería, mientras que la preocupación por las cuestiones conceptuales adentrarán al alumno en el verdadero meollo de las matemáticas, acostumbrándolo en la utilización de un lenguaje formal, puro y preciso, muy alejado del uso superficial, banal y retorcido, tan generalizado en nuestros días.

La magia de los números

Creo que fue Krönecker quien dijo que los números naturales eran cosa de Dios, mientras que el resto eran cosa de los hombres. Una vez definida la sucesión de números naturales, con la suma y el producto de números, hay toda una infinidad de propiedades que parecen ajenas a nuestra definición. Parece como si nosotros, con nuestra definición, lo único que hubiéramos hecho es darle apariencia formal a una “realidad” que estaba ahí, independientemente de nosotros.

Los números primos están ahí, con numerosas propiedades aún por descubrir, desafiantes a nuestras definiciones. Es como si los números nos dijeran: “nos habéis definido, pero ahora os toca descubrirnos”. Hay ahí toda una serie de “verdades” por descubrir que permanecen muy ocultas, y que en modo alguno parecen derivarse de nuestras definiciones. De hecho, para demostrar alguna de estas verdades, ha hecho falta salirse del campo de los números naturales, penetrar en el campo de los números reales, de las funciones, de los números complejos, y utilizar ideas muy profundas del análisis matemático. Fue así como Wiles consiguió la medalla Fields por el teorema de Fermat. Hay muchísimos hechos, como la primera conjetura de Goldbach, que afirma que todo número mayor o igual que 4 es igual a  la suma de dos números primos, que no se han demostrado.  La segunda conjetura afirma que todo número mayor o igual que 9 es la suma de tres números primos.

Se llama número perfecto a un número natural igual a la suma de sus divisores propios (que son aquéllos distintos del propio número). Por ejemplo, el 6 es un número perfecto, porque es la suma de sus divisores propios: 1, 2 y 3. Hay una conjetura no demostrada que dice que todo número perfecto es par, y se ha comprobado para una enorme cantidad de números perfectos.

Las preguntas que se plantean en el campo de los números naturales son claras, directas y sencillas, pero entrañan una dificultad extraordinaria, que ha ocupado la atención de los matemáticos más geniales. Quizás este “mundo propio”, en el que parecen vivir estos números, fuera lo que explicara la famosa frase de Krönecker, que citamos al principio.

Esto que sucede con los números naturales no sucede con los racionales, ni con los reales, aunque también haya teoremas que entrañen mucha dificultad. La geometría, como ya demostró Euclides, se aborda con mucha mayor sencillez desde las propias definiciones. Los teoremas se muestran mucho más cercanos a lo definido que en el campo de los naturales.

Esta dificultad intrínseca de estos números dio lugar a que Popper, y algunos otros filósofos con anterioridad, defendieran la existencia de un tercer mundo de proposiciones objetivas, distinto del mundo físico y del mundo mental. Popper no dejó suficientemente claro qué debía entenderse por ese mundo 3 del que nos hablaba, pero sí dejó claros algunos de sus contenidos. Así, todas aquellas proposiciones verdaderas, aunque nunca lleguen a ser descubiertas, forman parte de ese mundo 3. De ahí esa autonomía de ese mundo 3, respecto de nosotros. Para Popper, aunque el mundo 3 es una creación humana, éste crea a su vez su propio campo autónomo. Sería el caso de las numerosísimas conjeturas por descubrir, una vez definidos los naturales.

Este mundo 3 nos hace pensar en que, en cierto modo, somos libres para definir esto o aquellos, pero una vez definidos, aquellos entes se nos escapan. Siempre se nos dijo que la matemática la inventaba el hombre, mientras que el mundo exterior no tenía más remedio que descubrirlo. Ahora no está tan claro, y parece que en determinados campos, como el de los números naturales, como determinados juegos, etc,etc., se empieza definiendo, y el mundo que se crea tiene que ser descubierto. En el ajedrez, por ejemplo, se definen unas reglas y estas reglas “generan” todo un mundo de variantes y combinaciones aún por descubrir.

Estas ideas, lógicamente, han alimentado el platonismo de muchos matemáticos y filósofos, que han querido ver en ese inmenso mundo ignoto de “verdades” por descubrir a partir de nuestras definiciones un tercer mundo con vida propia.

Aquí queda esto como motivo de reflexión.

El infinito

“Pensar” el infinito produce un poco de vértigo, porque cuando parece que estamos a punto de acabar todavía nos queda un poco más, y de nuevo otra vez a empezar. Es el cuento de nunca acabar. Por eso, de una vez por todas: no volvamos a “pensar” en el infinito. Nosotros sólo podemos pensar en lo finito, y sin alejarnos mucho, y todo lo que queramos saber del infinito tendrá que ser por medio de lo finito.

Desde hace mucho tiempo se sabía que en una sucesión, tal como 1,4,9,16,25,36,…llegaría un momento en que sus términos serían mayores que cualquier número prefijado, y cuando esto ocurría decíamos que esa sucesión tendía a infinito. De la misma forma, una función, tal como y = 1/x, se haría mayor que cualquier número prefijado a medida que x se acercase, mediante números positivos, a cero. Cuando esto ocurriera diríamos que la tal función tiende a infinito cuando x tiende a cero. El lector habrá advertido que no hemos definido lo que es “tender a “, pero eso no es lo importante ahora. Lo único que importa es que podemos hablar de infinito, de que una sucesión o una función tienden a infinito, si sus valores se hacen mayor que cualquier número M, por grande que éste sea. Por tanto, ya no tenemos que “pensar” el infinito, sino demostrar que los valores de la sucesión, o de la función, se hacen mayores que cualquier número M. De una forma parecida, aunque más precisa, se definió el infinito potencial, el “tender hacia infinito”.

Sin embargo, el infinito actual, los conjuntos que contienen infinitos términos, como el conjunto de los números naturales, el de los puntos de un segmento, el de los puntos de un cuadrado, el de los números complejos, etc, etc., se incluían todo en un mismo saco, y se decía que contenían infinitos elementos. A Cantor, en el S.XIX, se le ocurrió extender la definición de cardinalidad de un conjunto a conjuntos infinitos, y dijo que dos conjuntos tenían el mismo cardinal si se podía establecer entre ambos una correspondencia biunívoca ( una correspondencia uno-uno entre los dos conjuntos ). Nos llevamos la sorpresa de que el conjunto de los números pares, por ejemplo, y el de los números naturales, tienen el mismo cardinal.

Esto contradice el principio aristotélico, de que “el todo es mayor que la parte”. Parecía un principio tan claro, y se nos viene abajo. Pues sí, pero ya era hora. Nos resultaba tan claro porque estábamos extendiendo nuestra intuición de lo finito a lo infinito. Ese principio sólo es válido para los conjuntos finitos. De hecho, a partir de ahora vamos a definir los conjuntos infinitos como aquellos que se pueden poner en correspondencia biunívoca con alguna de sus partes, y vamos a definir como conjuntos finitos aquéllos en que lo anterior no es posible.

Esta idea de Cantor, aparentemente simple, encierra una gran profundidad, una gran originalidad y una extrema fecundidad. De entrada nos permite comparar los diferentes conjuntos infinitos, que antes estaban todos en un mismo saco. Así, podemos saber, por ejemplo, que el conjunto de los números racionales ( las fracciones ) se puede poner en correspondencia biunívoca con el de los naturales. A la cardinalidad de estos conjuntos, y a la de todos aquellos que se puedan poner en correspondencia biunívoca con ellos, le llamó Cantor Aleph 0. También podemos saber que los números reales no se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales. A la cardinalidad de este nuevo conjunto infinito, le llamó Cantor Aleph 1.

Es posible conocer, también, que el número de puntos de un segmento tiene la misma cardinalidad que todos los puntos de la recta, y que el número de puntos de un cuadrado, o que el número de puntos de un cubo. También podemos saber que el número de números irracionales tiene por cardinal Aleph 1.

Si un polinomio de grado n lo igualamos a cero, tenemos lo que se llama una ecuación polinómica. Llamamos número algebraico a aquel que es solución de alguna ecuación polinómica, y número trascendente al que no lo es. Algunos números trascendentes famosos son el número e, el número pi, etc. Desde Cantor, y gracias a él, sabemos con facilidad que el cardinal de los números algebraicos es Aleph 0, y el de los trascendentes Aleph 1.

Durante mucho tiempo, Cantor estuvo intentando demostrar la conjetura del continuo, que establecía que entre Aleph 1 y Aleph cero no existía ningún conjunto con una cardinalidad intermedia. No lo logró. No fue hasta principios de los 60 del S.XX,  cuando Cohen demostró que dicha cuestión era un indecidible en la teoría de conjuntos. Podemos añadir un nuevo axioma que diga que hay un cardinal intermedio, o bien añadir un nuevo axioma que afirme que no lo hay, y ambos sistemas serán consistentes, aunque obviamente incompatibles entre sí.

Excepto el teorema de Cohen, el resto de las afirmaciones sobre cardinalidad vertidas en este artículo están al alcance del lector, algunas de ellas no exentas de esfuerzo. Espero que esto último sirva para ilustrar la enorme fecundidad de la idea de Cantor, y que este artículo sea un homenaje más a este genial matemático.

Matemática y realidad

En una lista a la que pertenezco alguien planteó la pregunta de porqué la matemática es tan útil para comprender el mundo real. En otras palabras, por qué algo que se desarrolla con papel y lápiz, sin necesidad de observar nada, se muestra tan aplicable a las disciplinas empíricas.

Hubo quien defendía posturas idealistas, platónicas, afirmando que nosotros poseemos “a priori” la idea de triángulo, o la idea de número, y que el mundo real de algún modo nos “despierta” esas ideas. Es el mito de la caverna, de Platón, centrado en las ideas matemáticas.

 Personalmente, la teoría de las ideas de Platón me resulta algo rebuscada, y la hipótesis más sencilla me resultará la más plausible, siempre que resulte suficientemente explicativa.

 Yo pienso que la idea de número, como la idea de triángulo, o la de cuadrado, o la del número 4, son ideas adquiridas por la humanidad tras un largo proceso de observación, y de abstracción posterior. Al principio, dos colecciones de piedras con diferente cardinalidad se nombrarían de forma completamente diferente, y tuvo que pasar algún tiempo hasta que aprendimos a decir: ” 2 piedras”, o ” 4 piedras”, etc., etc. Fue la observación continuada de diferentes conjuntos, y el consiguiente y elaborado proceso de abstracción lo que nos hizo concebir la idea de “1″, de “2″, de”3″, de “4″,…………, y al final la idea de número, en general.

De igual forma, la observación repetida de diferentes formas geométricas, existentes o creadas, nos llevó por un proceso de abstracción progresivo a la idea de “línea recta”, de “punto”, de “triángulo”, de “rectángulo”, de “cuadrado”, y después a la idea de “forma geométrica” a la idea de “perímetro”, o a la de “área”. Es sabido que los que dominaban las técnicas para calcular áreas se beneficiaban, haciendo creer a los legos que mayor perímetro equivalía a mayor área.

Resulta claro, así explicado, que el “número” y las “formas” no brotaron exclusivamente del papel y el lápiz, sino de la observación continuada de diversos aspectos del entorno, como fueron las diversas colecciones de objetos – con su diferente numerosidad, o cardinalidad -, y las diferentes formas geométricas.

El origen de la matemática no fue especulativo, ni se formalizó o axiomatizó en un primer momento. La aritmética, y la geometría, surgieron para resolver cuestiones del mundo real, y no es de extrañar, por tanto, que se adapten tan bien a éste. En un proceso mucho más tardío se encontró la forma de axiomatizar y formalizar la geometría, algo que hizo Euclides con sus Elementos de geometría, y casi 23 siglos más tarde Peano, con su formalización de la arimética y su axiomatización del número natural. Estas formalizaciones procuraron siempre respetar el origen práctico de la arimética y de la geometría, de forma que muchos de los resultados teóricos de Euclides ya eran conocidos de forma empírica por los egipcios, de igual forma que los axiomas de Peano conducen a que  2+2 =4.

Posteriormente se vio que eran posibles otras geometrías, y surgieron las geometrías no euclídeas, que, en un principio carecían de modelos reales a los que aplicarse, pero a los que posteriormente se encontró aplicación, como es el caso de la geometría de Riemann a la teoría general de la relatividad de Einstein.

 Es decir, en un principio la matemática surge hermanada con la realidad, posteriormente se emancipa,  se sigue alejando más, y en el momento más insospechado alguien le encuentra una aplicación a esas teorías. Es el caso de Murray Gell-Mann a la teoría de grupos para la física de partículas, o los espacios de Hilbert a la mecánica cuántica, o la encriptación de datos a la teoría de números, etc.,etc.,etc.

Hoy, la matemática constituye un mundo aparte, y eso hace que nos parezca sorprendente que el mundo de las ideas matemáticas encuentre tal cantidad de aplicaciones al mundo real.

Habitualmente se usa como paradigma de verdad aquello de que 2+2 =4, aunque sólo unos pocos serían capaces de demostrarlo a partir de las correspondientes definiciones y axiomas. Sin embargo, todo el mundo emplea aquello de que “está más claro que 2 y 2 son 4″. Curiosamente nadie dice: “está tan claro como que 2367 y 4378 son 6745″. Este ejemplo nos muestra, una vez más, el origen empírico de la suma de números. Si el origen no hubiera sido empírico estaría tan claro lo uno como lo otro. Todos estamos familiarizados con lo primero, con que 2 y 2 son 4, pero no con lo segundo.

Las definiciones

El Diccionario de la Real Academia Española, en su primera acepción sobre “definir” nos dice: “Fijar con claridad, exactitud y precisión la significación de una palabra o la naturaleza de una persona o cosa”.

 Grosso modo existen dos formas, bien diferenciadas, de aprender nuevas palabras. La primera forma, y a la que acudimos con mayor frecuencia los que manejamos algunas palabras, es el diccionario. El significado de la nueva palabra quedaría, de esta forma, fijado con claridad, exactitud y precisión, en función de otras palabras cuyo significado nos debe ser conocido. Esta primera forma de definición constituiría lo que podríamos llamar definición verbal.

 Sin embargo, los niños, que no conocen palabras, no pueden aprender así. Ellos deben aprender por asociación de un sonido con una “imagen”, ya sea ésta visual, auditiva, olorosa, táctil, etc. Habrá que decirles “lluvia”, y hacer que la sienta. Este otro tipo de definición, tan importante también, se llama definición ostensible, puesto que a la vez que pronunciamos la palabra mostramos el objeto. Todos aquellos conceptos, u objetos, esencialmente sensuales, no habrá otra forma de definirlos. No se me ocurre otra forma de definir lo “agrio” que dando a probar algo con ese sabor tan especial.

Una materia en la que hay ser especialmente cuidadoso con las definiciones, en cuanto a la precisión se refiere, son las matemáticas. ¿Qué clase de definiciones usaremos en esta materia, la verbal o la ostensible?. La verbal parece más seria para una materia como las matemáticas pero, ¿qué hacemos con los primeros conceptos, con los “primitivos”?.

Podemos hacer dos cosas:

Si tenemos una “imagen” previa del concepto a definir podemos intentar dibujarla de forma aproximada, para que se aprenda por abstracción progresiva. Podemos dibujar simulacros de segmentos, cada vez más delgados, y cada vez más largos, hasta que se logre captar el concepto de “recta”. Ahora bien: esto puede servir, tan sólo, para aquellos conceptos de los que poseemos una “imagen”.

Si no disponemos de una “imagen” de lo que queremos definir como, por ejemplo, para los conceptos de las geometrías no euclídeas habrá que transmitirlos de otra manera. Lo hacemos enumerando propiedades de esos conceptos – sean éstos lo que sean -, de tal manera que cualquier conjunto de conceptos, de los que dispongamos de una “imagen”, y que cumplan dichas propiedades, constituirá un modelo de aquellos conceptos. Esto es lo que se conoce como definición axiomática, que es la que de forma generalizada se ha impuesto en la matemática actual.

Nuestra “imagen” clásica de “punto” y de “recta” cumplen los axiomas de la moderna geomtría euclídea, pero también los cumplen un par ordenado de números reales (a,b) y la ecuación algebraica de la forma a.x+b.y+c = 0. Por tanto, ambos constituyen un modelo de la geometría euclídea.

Como hemos visto, cada conjunto de conceptos previamente conocidos que cumplen los axiomas de la definición constituyen un modelo para los conceptos que queremos definir. A los conceptos que pretendemos definir de esta manera – mediante una definición axiomática – es preferible no llamarlos conceptos, pues están situados en un nivel de abstracción mayor que los conceptos de los modelos. Podemos llamarlos conceptores, y de hecho así se hace.

Así, mientras en la moderna geometría euclídea, “punto”, “recta” y “plano” serían conceptores, nuestras antiguas imágenes euclidianas de “punto”, “recta” y “plano” constituirían un modelo, y serían, por tanto, conceptos. De igual forma, un par ordenado de número reales (a,b), la ecuación a.x+b.y+c = 0, y la ecuación a.x+b.y+c.z+d = 0 también constituyen un modelo para los conceptores, y son, por tanto, conceptos.

Así, la matemática moderna no define tanto conceptos como “conjuntos de conceptos” que cumplen determinadas propiedades; esto es: estructuras. Así, conjuntos de lo más diversos pueden tener la misma estructura, y los resultados obtenidos en abstracto para los conceptores se podrán aplicar, por igual, a los conceptos de esos conjuntos tan diversos.

Es éste un tema difícil y árido, pero que merece ser pensado, pues constituye el pilar conceptual fundamental de toda la matemática moderna.

Más sobre matemáticas

Yo no estoy al tanto de la E.S.O., ni del actual bachillerato, ni sé cuándo tienen los alumnos que elegir asignaturas optativas. Me preocupa que mi hijo, cuando se tenga que decidir, no elija matemáticas, independientemente de los estudios que vaya a cursar posteriormente. Uno siempre puede estudiar Filosofía si ha escogido matemáticas, pero difícilmente puede acceder a ingeniero aeronáutico si desconoce lo que es una función. Por tanto, el interés por que mi hijo curse matemáticas tiene una finalidad práctica – que pueda acceder con mayor facilidad a los estudios superiores que desee más adelante -, pero mi interés va más allá del puro pragmatismo.

No soy de los que creeen que mi hijo “sirve para las matemáticas” porque ejecuta con facilidad los cálculos que le proponen en el colegio, ni creo que no sirva para tal menester porque le cueste adoptar esa mecánica. Creo que la matemática es la mejor disciplina mental inventada hasta el momento y que, como tal, nadie debería de verse privado de estudiarla al completo en el bachillerato, porque si no lo hace en ese momento ya nunca lo hará más tarde. No conozco a nadie que, habiendo cursado un bachillerato de letras, sea aficionado a las matemáticas de mayor.

El conocimiento de las matemáticas, aunque únicamente sea a nivel de bachillerato, dota al alumno de unas habilidades que trascienden el propio contenido de la materia. No es que el alumno aprenda funciones, límites, derivadas, integrales, y todas sus aplicaciones. No es sólamente eso. Si se enseñan correctamente proporcionan unas ventajas adicionales que, a mi juicio, ninguna otra asignatura proporciona en el mismo grado.

 El alumno de matemáticas se acostumbra a un lenguaje preciso como ningún otro, y a eliminar al máximo los ámbitos de ambigüedad del lenguaje común, que a tantos equívocos conlleva.

 Asimismo, el alumno es adiestrado en un lenguaje carente de redundancias, en el que se debe expresar la máxima información con el mínimo de palabras. Podría pensarse que este segundo aspecto podría quedar incluido en el primero, pero he preferido deslindarlo porque un lenguaje puede ser preciso pero no conciso. El lenguaje matemático es ambas cosas a la vez: preciso y conciso. El circunloquio, que en determinadas ocasiones puede ayudar a acotar un concepto impreciso, no es algo propio del lenguaje de los matemáticos.

La abstracción propia de los conceptos matemáticos ayuda a considerar los aspectos relevantes de una cuestión, desdeñando lo puramente anecdótico. Muchas veces, en muchas discusiones, asistimos al triste espectáculo de ver convertida la anécdota en categoría.

 Por último, y para no extenderme, la consideración abstracta de los aspectos relevantes de un problema nos permite desarrollar un “modelo” de la cuestión que estamos considerando. Este modelo será susceptible de ser manejado mediante todo el aparato matemático que previamente hemos desarrollado. La viabilidad del modelo nos la dirá su concordancia o discordancia con los hechos observados. En cierto modo, lo que caracteriza al matemático es la posibilidad de crear matemática a la menor oportunidad.

Por todo esto, por sus enormes aplicaciones prácticas en todas las ciencias, y por aspectos que habré dejado con seguridad en el tintero, opino que la matemática debiera ocupar todos los años del bachillerato para todos los alumnos.

Aquello de “éste no vale para las matemáticas” me parece absolutamente inaceptable, por ser estrictamente falso. Nadie pretende hacer un Euler de todos los alumnos, sino evitar que se vean privados de aquellas cualidades descritas anteriormente, y para las que la matemática es la asignatura ideal. Esto sí se puede conseguir de una forma general, aunque habría que cambiar muchos aspectos de la enseñanza de las matemáticas, que la hacen especialmente tediosa para una gran mayoría de alumnos.

Es falso, pero ¡qué bien funciona!

Galileo dijo que la naturaleza estaba escrita en lenguaje matemático, y desde entonces muchos son los que han repetido la misma frase de forma mecánica, sin pararse a pensar lo que están diciendo.

Ha sido tan útil, y tan generalizada, la aplicación de la matemática a la Física que uno podría sentirse tentado a pensar algo así. Sería, sin embargo, una visión idealista de la realidad que no tiene mucho fundamento. La naturaleza no contaba con nosotros, ni sabía qué tipo de matemáticas inventaríamos. Resulta más natural pensar al revés: los conceptos matemáticos fueron creados por el hombre para comprender mejor la naturaleza. De esta forma obviamos la estereotipada explicación de que la naturaleza estaba contando con nuestra aparición en el planeta Tierra, poco humilde por nuestra parte.

Así debieron surgir los números, tras el esfuerzo de muchas generaciones, y los primeros conceptos geométricos. Ni lo uno ni lo otro existen en la naturaleza, pero ya hemos visto lo útiles que nos han resultado.

A los antiguos egipcios, las inundaciones periódicas del Nilo los impulsaron a desarrollar el concepto de área y a calcular las áreas de los terrenos que podían quedar borrados por las mismas. Fueron los primeros balbuceos de la matemática aplicada. Más tarde, en Grecia, Euclides, sistematizó en un cuerpo teórico toda la geometría conocida en una forma parecida a como se estudia – o como se estudiaba – en los colegios. Fue el comienzo de la matematica abstracta, teórica, sin vistas a una aplicación inmediata.

En la mecánica clásica, newtoniana, resulta muy útil el concepto de sólido rígido. Se trata de un concepto matemático, que tampoco existe en la realidad. Se define como un conjunto de n partículas tal que dos cualesquiera de éllas están siempre a la misma distancia entre sí. Sabemos que los átomos están continuamente vibrando ( salvo, teóricamente, en el cero absoluto ) y que el sólido rígido es una ficción. Sin embargo esta abstracción, esta modelización de la realidad, nos permite aplicarle un imponente aparato matemático creado a a tales efectos. El asunto es que, a los efectos del estudio del movimiento, nuestra ficción funciona, ¡ y cómo lo hace !.

A nuestra escala de velocidades, incluida la de los cohetes espaciales, la mecánica de Newton funciona perfectamente aunque sepamos, desde Einstein, que los tiempos y los espacios dependen de la velocidad del observador que los mide.

Las matemáticas aplicadas son modelizaciones de la realidad que, dependiendo del ámbito en que nos movamos, se adaptan mejor o peor, o, lo que es lo mismo, predicen mejor o peor lo que va a suceder y tienen, por tanto, mejor o peor poder explicativo.

Karl Popper introdujo para los modelos el concepto de falsabilidad, requisito indispensable para que cualquier modelo científico de la realidad pudiera ser refutado.  Desde este punto de vista, teorías tan importantes como el psicoanálisis o la teoría de la evolución, no pueden ser incluidas como teorías científicas por no ser falsables, según el propio Popper. Cualquier modelo que haya sido falsado debe ser abandonado.

 Hoy somos algo menos restrictivos, y los modelos no son abandonados por el mero hecho de haber sido falsados. La mecánica de Newton ha sido falsada por el experimento de Michelson y Morley, y la teoría de la relatividad se justa más a los hechos observados. Sin embargo Newton sigue vigente, y a la escala de velocidades en que nos movemos el modelo funciona extraordinariamente bien, aunque sea falso.

Probablemente lo que llamamos verdadero, o falso, es una forma de interacción entre nuestro aparato perceptor y la realidad. Decimos que una teoría aparece como verdadera cuando es capaz de explicar, y de predecir, fenómenos que nuestro aparato perceptor pondrá de manifiesto. Quizás otros seres inteligentes, dotados de otro aparato perceptor, obtuviesen otra teoría diferente, igualmente válida para explicar todos los fenómenos que su aparato peceptor pudiera captar. ¿Cuál de las dos teorías describiría, entonces, la realidad?. Podríamos decir que las dos, y podríamos decir que ninguna. Quizás la realidad no sea más que eso: nuestra mejor aspiración de descripción de la naturaleza.

Hemos explicado que las matemáticas surgieron como modelos para explicar la naturaleza, y que pueda haber – y de hecho hay – muchas matemáticas diferentes y muchos modelos explicativos, con mayor o menor éxito.

En otro escrito de este mismo blog, titulado Cerebro y Lógica, se defiende la hipótesis de que la Lógica, sin embargo, es algo universal, a diferencia de las matemáticas.

Recorre el camino

Este es un problema que se planteará al lector de forma intuitiva, pero suficientemente clara. Se obviarán las definiciones pertinentes para un planteamiento preciso de la cuestión, y será el lector si quiere resolverla quien tendrá que procurarse estas definiciones y las consiguientes aclaraciones conceptuales.

Muchas veces la solución de un problema está en las preguntas que nos planteamos respecto al mismo, y en las aclaraciones conceptuales que precisamos para plantearlas.

Se trata de  completar el recorrido de un camino sin pasar más una vez por el mismo tramo.

En este gráfico de arriba no nos resultará difícil ver cómo podemos completar el camino sin pasar más de una vez por el mismo tramo.

En el siguiente, a poco que nos fijemos, nos daremos cuenta de que tal cosa resulta imposible.

Se trata de ejemplos sencillos que no entrañan dificultad alguna. El siguiente gráfico, sin embargo, nos llevaría más tiempo de analizar.

Pero aunque lo analizáramos siempre habría un nuevo gráfico que constituiría un nuevo reto. Desearíamos, si fuera posible, encontrar aquellas condiciones necesarias y suficientes para poder completar un camino sin pasar más de una vez por el mismo tramo. Y también, si es posible recorrerlo, cuál es el itinerario para completarlo.

La Lógica, la Matemática, el razonamiento, el discurso y la cháchara

En este escrito me propongo caracterizar lo que entiendo por estos conceptos.

A mí me interesa, particularmente, esclarecer brevemente las relaciones
entre las palabras arriba citadas.

La Lógica, ya sea la clásica, la moderna bivalente, la trivalente, las
polivalentes, las difusas, o cualesquiera otras que se puedan inventar,
tratan de establecer una serie de reglas formales para el razonamiento
correcto.

La Lógica opera paso a paso, y da cuenta de todos y cada uno de
los supuestos implicados en nuestro corriente razonar correcto. Llamo
correcto al razonamiento seguro, al que contiene una probabilidad cero de
error, para diferenciarlo del razonamiento corriente, el más frecuente, que
sólo puede ser probable en un grado mayor o menor.

La lógica es pensar sobre nuestro pensamiento, y encontrar y analizar las reglas que lo sustentan. Un razonamiento lógico realizado por un lego puede llevarle a un lógico veinte
pasos desmenuzarlo. Desde este punto de vista considero a la Lógica una
materia absolutamente estéril, lo cual no quiere decir carente de interés.

Aquellos que se zambullan en el campo de la Lógica pensando que así
dispondrán de una herramienta imprescindible para la discusión dialéctica, y
que podrán aplicarla con éxito a cualquier debate están absolutamente
equivocados. Sí puede, sin embargo, prevenir contra la inmensa cantidad de
cuestiones que aceptamos sin el menor espíritu crítico.

De la Matemática muchos pensaron que podría expresarse toda ella en términos
lógicos, y ser así una extensión de la misma. Esto sucedió en el S.XIX, tras
la aritmetización del análisis por Cauchy, Dedekind y otros, y tras la
invención por Cantor de la noción de conjunto y el primer cálculo lógico
moderno realizado por Frege. Hoy nadie piensa así, y la matemática se
considera algo mucho más amplio que la mera Lógica.

Sin duda es algo mucho más fecundo, y nadie puede estudiar Ciencias, en un sentido amplio, sin disponer de esta potentísima herramienta. Incluso el tratamiento de nuestra
incertidumbre, la medición de la misma, la realizamos con un aparato que nos
brinda la matemática: la teoría de probabilidades. El enorme grado de
abstracción de sus teorías y estructuras hacen que cada vez más campos de la
realidad se beneficien del conocimiento de esta disciplina. Por lo tanto la
matemática no puede resultar más útil, si al campo de las ciencias nos
referimos.

El razonamiento es algo muy general, difícil de definir, difícil de
delimitar con precisión, pero que lo aplicamos con mayor o menor acierto a
la mayor parte de nuestras actividades. De hecho creo, con fundamento, que
algunos animales “razonan” a su manera, mientras que muy pocos – yo no
conozco a ninguno – han demostrado el teorema de Gödel o el cálculo de
variaciones. El razonamiento es algo mucho más general, mucho menos preciso,
mucho menos exigente, mucho más equívoco, muy sometido a la prueba de
“ensayo y error”, pero al mismo tiempo el de más amplio ámbito de
aplicación, el de uso más generalizado.

No deja de ser curioso que el más imperfecto sea el de mayor amplitud de aplicación, y el más perfecto – la Lógica – el de un ámbito de aplicación mínimo. Además ésta – la Lógica – no existiría sin el requisito previo de ese razonamiento imperfecto al que
ahora me refiero. Este razonamiento común, diferente del razonamiento lógico
común – que no contiene error, si está bien realizado -, sería el más
interesante de analizar pero sospecho que requeriría muchos capítulos.

El discurso, oral o escrito, es la expresión articulada de nuestros
pensamientos. Una característica crucial de éste es, pues, el orden en la
presentación de las ideas, la coherencia de las mismas y su capacidad
interpretativa o explicativa del objeto de nuestro discurso. No me refiero
con discurso a una mera exposición ordenada de datos, sino también a una
interpretación de los mismos que permita explicar la realidad objeto del
discurso, y también, si es posible, una predicción más o menos general de
fenómenos que nuestro discurso pueda prever. Esto no siempre tiene por qué
ser posible, pero ayudaría a falsar nuestro propio discurso, dotándolo de
esta forma de un espíritu más científico y de un talante – esta vez sí -
menos dogmático.

La cháchara es lo más corriente, lo más común. No precisa de orden ni de
concierto, ni de predicción, ni de falsación, ni de gaitas. Sólo precisa de
lengua o  de teclado, de deseos de espetar algo,  y de ausencia de todo
espíritu crítico con uno mismo. También precisa de razonamiento, aunque éste
presente tintes más cercanos a los primates que al aspirante a “homo
sapiens”.

Ian Stewart

Este escritor y divulgador de las matemáticas es, desde mi punto de vista, el mejor continuador de la línea de Gardner, si bien le ha imprimido a sus libros un estilo propio.

 El primer libro suyo que cayó en mis manos me lo regaló un amigo, y lleva por título “Conceptos de matemática moderna”. Fue editado por Alianza editorial en el año 77 y aún lo releo, de vez en cuando, porque siempre se aprende algo nuevo.

 Hace un par de veranos un hermano me propuso un problema que había leído en un libro de este autor, y que propongo aquí por su interés.

Se trata de un juego con los primeros 100 números naturales. El 1º jugador debe empezar retirando un número par entre esos 100 números. A continuación, el 2º jugador debe retirar un múltiplo o submúltiplo de ese número, y de nuevo el 1º jugador debe retirar un múltiplo o submúltiplo del número que retiró el anterior jugador. Pierde el jugador que no pueda retirar ningún número.

 Surge inmediatamente la pregunta de qué pasaría con n números. Este problema, de mayor envergadura, al parecer fue tratado por el físico y matemático Wigner.