De nuevo las matemáticas

Estamos atravesando una grave crisis económica, y las ventajas con las que se nos decía que contaba nuestro sistema financiero, como su solidez, no parecen estar tan claras. La aparente prosperidad económica española no parecía guardar concordancia alguna con el elevado nivel de analfabetismo funcional de nuestro país. De hecho, llegué a pensar, y aún lo pienso en parte, que la prosperidad económica no guarda relación con el nivel de educación del país. En todo caso, como escribí, con el nivel de sus universidades. La educación podía servir más al individuo, al hacerlo más libre y más crítico; en suma, más ciudadano.

Estamos viviendo una época, o al menos me lo parece, en que los protagonistas de la vida pública son los que menos saben, los que menos cosas interesantes tiene que contar, excepto una sarta de banalidades expresadas en un lenguaje torpe y lenguaraz a un tiempo.

Las matemáticas, bien enseñadas, sirven para muchas cosas, y no es menester glosar una vez más aquí todas sus virtudes. Sí me gustaría, sin embargo, analizar una de ellas, quizás la principal para combatir la charlatanería huera que nos acecha por doquier. Una característica esencial del lenguaje matemático es su economía: se utilizan los símbolos, o las palabras, necesarios y suficientes.

Por eso, quizás por eso, las personas versadas en esta materia no utilicen un lenguaje redundante, y todo su lenguaje sea más austero, más preciso, más dotado de contenido real.

En una época como la nuestra, en que continuamente se confunde la anécdota con la categoría, en la que se banaliza lo verdaderamente importante, y se pontifica sobre las estupideces, se hace más necesario que nunca la purificación del lenguaje, entendiendo por ésta la utilización correcta del mismo para expresar ideas, o sentimientos, y no al revés, utilizar el lenguaje y desvirtuarlo, vaciéndolo de contenido, para transformar la realidad. Cuando el lenguaje se utiliza, no para describir la realidad, sino para desvirtuarla, o para ocultarla, nos alejamos de los fines primigenios del lenguaje para caer en una de las mayores abyecciones: desvirtuar la realidad pervirtiendo el lenguaje.

Habrá quien piense que en toda época el lenguaje se ha utilizado para engañar, para intereses espúrios, etc. Sin duda, pero cuando esto se hace de forma sistemática, y con los medios de comunicación de nuestros tiempos, el éxito está garantizado.

Una buena vacuna contra los fines perversos del lenguaje, y que nos procura la máxima inmunidad, es la purificación del mismo, devolviendo a las palabras el auténtico sentido que nunca debieron perder. En este sentido, la pureza del lenguaje matemático, donde no se admite una palabra de más, ni una palabra de menos, me parece un magnífico antídoto para ponerse a salvo de uno de los sinos de nuestros tiempos: la charlatanería, la propaganda, la publicidad engañosa y la manipulación a todos los niveles, en definitiva.

La matemática, clásicamente, se ha venido enseñando para procurar en el estudiante una destreza operativa. Se intentaba, al menos en mis tiempos, conseguir que el estudiante resolviera logaritmos, efectuara límites, derivadas e integrales con soltura, sin pararse demasiado en los aspectos conceptuales. Ambas cosas me parecen importantes, si queremos que la matemática transforme los cerebros en el noble sentido en el que apuntábamos en párrafos anteriores.

La faceta técnica, la destreza operativa, preparará al alumno para cursar con éxito una ingeniería, mientras que la preocupación por las cuestiones conceptuales adentrarán al alumno en el verdadero meollo de las matemáticas, acostumbrándolo en la utilización de un lenguaje formal, puro y preciso, muy alejado del uso superficial, banal y retorcido, tan generalizado en nuestros días.

El infinito

“Pensar” el infinito produce un poco de vértigo, porque cuando parece que estamos a punto de acabar todavía nos queda un poco más, y de nuevo otra vez a empezar. Es el cuento de nunca acabar. Por eso, de una vez por todas: no volvamos a “pensar” en el infinito. Nosotros sólo podemos pensar en lo finito, y sin alejarnos mucho, y todo lo que queramos saber del infinito tendrá que ser por medio de lo finito.

Desde hace mucho tiempo se sabía que en una sucesión, tal como 1,4,9,16,25,36,…llegaría un momento en que sus términos serían mayores que cualquier número prefijado, y cuando esto ocurría decíamos que esa sucesión tendía a infinito. De la misma forma, una función, tal como y = 1/x, se haría mayor que cualquier número prefijado a medida que x se acercase, mediante números positivos, a cero. Cuando esto ocurriera diríamos que la tal función tiende a infinito cuando x tiende a cero. El lector habrá advertido que no hemos definido lo que es “tender a “, pero eso no es lo importante ahora. Lo único que importa es que podemos hablar de infinito, de que una sucesión o una función tienden a infinito, si sus valores se hacen mayor que cualquier número M, por grande que éste sea. Por tanto, ya no tenemos que “pensar” el infinito, sino demostrar que los valores de la sucesión, o de la función, se hacen mayores que cualquier número M. De una forma parecida, aunque más precisa, se definió el infinito potencial, el “tender hacia infinito”.

Sin embargo, el infinito actual, los conjuntos que contienen infinitos términos, como el conjunto de los números naturales, el de los puntos de un segmento, el de los puntos de un cuadrado, el de los números complejos, etc, etc., se incluían todo en un mismo saco, y se decía que contenían infinitos elementos. A Cantor, en el S.XIX, se le ocurrió extender la definición de cardinalidad de un conjunto a conjuntos infinitos, y dijo que dos conjuntos tenían el mismo cardinal si se podía establecer entre ambos una correspondencia biunívoca ( una correspondencia uno-uno entre los dos conjuntos ). Nos llevamos la sorpresa de que el conjunto de los números pares, por ejemplo, y el de los números naturales, tienen el mismo cardinal.

Esto contradice el principio aristotélico, de que “el todo es mayor que la parte”. Parecía un principio tan claro, y se nos viene abajo. Pues sí, pero ya era hora. Nos resultaba tan claro porque estábamos extendiendo nuestra intuición de lo finito a lo infinito. Ese principio sólo es válido para los conjuntos finitos. De hecho, a partir de ahora vamos a definir los conjuntos infinitos como aquellos que se pueden poner en correspondencia biunívoca con alguna de sus partes, y vamos a definir como conjuntos finitos aquéllos en que lo anterior no es posible.

Esta idea de Cantor, aparentemente simple, encierra una gran profundidad, una gran originalidad y una extrema fecundidad. De entrada nos permite comparar los diferentes conjuntos infinitos, que antes estaban todos en un mismo saco. Así, podemos saber, por ejemplo, que el conjunto de los números racionales ( las fracciones ) se puede poner en correspondencia biunívoca con el de los naturales. A la cardinalidad de estos conjuntos, y a la de todos aquellos que se puedan poner en correspondencia biunívoca con ellos, le llamó Cantor Aleph 0. También podemos saber que los números reales no se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales. A la cardinalidad de este nuevo conjunto infinito, le llamó Cantor Aleph 1.

Es posible conocer, también, que el número de puntos de un segmento tiene la misma cardinalidad que todos los puntos de la recta, y que el número de puntos de un cuadrado, o que el número de puntos de un cubo. También podemos saber que el número de números irracionales tiene por cardinal Aleph 1.

Si un polinomio de grado n lo igualamos a cero, tenemos lo que se llama una ecuación polinómica. Llamamos número algebraico a aquel que es solución de alguna ecuación polinómica, y número trascendente al que no lo es. Algunos números trascendentes famosos son el número e, el número pi, etc. Desde Cantor, y gracias a él, sabemos con facilidad que el cardinal de los números algebraicos es Aleph 0, y el de los trascendentes Aleph 1.

Durante mucho tiempo, Cantor estuvo intentando demostrar la conjetura del continuo, que establecía que entre Aleph 1 y Aleph cero no existía ningún conjunto con una cardinalidad intermedia. No lo logró. No fue hasta principios de los 60 del S.XX,  cuando Cohen demostró que dicha cuestión era un indecidible en la teoría de conjuntos. Podemos añadir un nuevo axioma que diga que hay un cardinal intermedio, o bien añadir un nuevo axioma que afirme que no lo hay, y ambos sistemas serán consistentes, aunque obviamente incompatibles entre sí.

Excepto el teorema de Cohen, el resto de las afirmaciones sobre cardinalidad vertidas en este artículo están al alcance del lector, algunas de ellas no exentas de esfuerzo. Espero que esto último sirva para ilustrar la enorme fecundidad de la idea de Cantor, y que este artículo sea un homenaje más a este genial matemático.

Las definiciones

El Diccionario de la Real Academia Española, en su primera acepción sobre “definir” nos dice: “Fijar con claridad, exactitud y precisión la significación de una palabra o la naturaleza de una persona o cosa”.

 Grosso modo existen dos formas, bien diferenciadas, de aprender nuevas palabras. La primera forma, y a la que acudimos con mayor frecuencia los que manejamos algunas palabras, es el diccionario. El significado de la nueva palabra quedaría, de esta forma, fijado con claridad, exactitud y precisión, en función de otras palabras cuyo significado nos debe ser conocido. Esta primera forma de definición constituiría lo que podríamos llamar definición verbal.

 Sin embargo, los niños, que no conocen palabras, no pueden aprender así. Ellos deben aprender por asociación de un sonido con una “imagen”, ya sea ésta visual, auditiva, olorosa, táctil, etc. Habrá que decirles “lluvia”, y hacer que la sienta. Este otro tipo de definición, tan importante también, se llama definición ostensible, puesto que a la vez que pronunciamos la palabra mostramos el objeto. Todos aquellos conceptos, u objetos, esencialmente sensuales, no habrá otra forma de definirlos. No se me ocurre otra forma de definir lo “agrio” que dando a probar algo con ese sabor tan especial.

Una materia en la que hay ser especialmente cuidadoso con las definiciones, en cuanto a la precisión se refiere, son las matemáticas. ¿Qué clase de definiciones usaremos en esta materia, la verbal o la ostensible?. La verbal parece más seria para una materia como las matemáticas pero, ¿qué hacemos con los primeros conceptos, con los “primitivos”?.

Podemos hacer dos cosas:

Si tenemos una “imagen” previa del concepto a definir podemos intentar dibujarla de forma aproximada, para que se aprenda por abstracción progresiva. Podemos dibujar simulacros de segmentos, cada vez más delgados, y cada vez más largos, hasta que se logre captar el concepto de “recta”. Ahora bien: esto puede servir, tan sólo, para aquellos conceptos de los que poseemos una “imagen”.

Si no disponemos de una “imagen” de lo que queremos definir como, por ejemplo, para los conceptos de las geometrías no euclídeas habrá que transmitirlos de otra manera. Lo hacemos enumerando propiedades de esos conceptos – sean éstos lo que sean -, de tal manera que cualquier conjunto de conceptos, de los que dispongamos de una “imagen”, y que cumplan dichas propiedades, constituirá un modelo de aquellos conceptos. Esto es lo que se conoce como definición axiomática, que es la que de forma generalizada se ha impuesto en la matemática actual.

Nuestra “imagen” clásica de “punto” y de “recta” cumplen los axiomas de la moderna geomtría euclídea, pero también los cumplen un par ordenado de números reales (a,b) y la ecuación algebraica de la forma a.x+b.y+c = 0. Por tanto, ambos constituyen un modelo de la geometría euclídea.

Como hemos visto, cada conjunto de conceptos previamente conocidos que cumplen los axiomas de la definición constituyen un modelo para los conceptos que queremos definir. A los conceptos que pretendemos definir de esta manera – mediante una definición axiomática – es preferible no llamarlos conceptos, pues están situados en un nivel de abstracción mayor que los conceptos de los modelos. Podemos llamarlos conceptores, y de hecho así se hace.

Así, mientras en la moderna geometría euclídea, “punto”, “recta” y “plano” serían conceptores, nuestras antiguas imágenes euclidianas de “punto”, “recta” y “plano” constituirían un modelo, y serían, por tanto, conceptos. De igual forma, un par ordenado de número reales (a,b), la ecuación a.x+b.y+c = 0, y la ecuación a.x+b.y+c.z+d = 0 también constituyen un modelo para los conceptores, y son, por tanto, conceptos.

Así, la matemática moderna no define tanto conceptos como “conjuntos de conceptos” que cumplen determinadas propiedades; esto es: estructuras. Así, conjuntos de lo más diversos pueden tener la misma estructura, y los resultados obtenidos en abstracto para los conceptores se podrán aplicar, por igual, a los conceptos de esos conjuntos tan diversos.

Es éste un tema difícil y árido, pero que merece ser pensado, pues constituye el pilar conceptual fundamental de toda la matemática moderna.

Más sobre matemáticas

Yo no estoy al tanto de la E.S.O., ni del actual bachillerato, ni sé cuándo tienen los alumnos que elegir asignaturas optativas. Me preocupa que mi hijo, cuando se tenga que decidir, no elija matemáticas, independientemente de los estudios que vaya a cursar posteriormente. Uno siempre puede estudiar Filosofía si ha escogido matemáticas, pero difícilmente puede acceder a ingeniero aeronáutico si desconoce lo que es una función. Por tanto, el interés por que mi hijo curse matemáticas tiene una finalidad práctica – que pueda acceder con mayor facilidad a los estudios superiores que desee más adelante -, pero mi interés va más allá del puro pragmatismo.

No soy de los que creeen que mi hijo “sirve para las matemáticas” porque ejecuta con facilidad los cálculos que le proponen en el colegio, ni creo que no sirva para tal menester porque le cueste adoptar esa mecánica. Creo que la matemática es la mejor disciplina mental inventada hasta el momento y que, como tal, nadie debería de verse privado de estudiarla al completo en el bachillerato, porque si no lo hace en ese momento ya nunca lo hará más tarde. No conozco a nadie que, habiendo cursado un bachillerato de letras, sea aficionado a las matemáticas de mayor.

El conocimiento de las matemáticas, aunque únicamente sea a nivel de bachillerato, dota al alumno de unas habilidades que trascienden el propio contenido de la materia. No es que el alumno aprenda funciones, límites, derivadas, integrales, y todas sus aplicaciones. No es sólamente eso. Si se enseñan correctamente proporcionan unas ventajas adicionales que, a mi juicio, ninguna otra asignatura proporciona en el mismo grado.

 El alumno de matemáticas se acostumbra a un lenguaje preciso como ningún otro, y a eliminar al máximo los ámbitos de ambigüedad del lenguaje común, que a tantos equívocos conlleva.

 Asimismo, el alumno es adiestrado en un lenguaje carente de redundancias, en el que se debe expresar la máxima información con el mínimo de palabras. Podría pensarse que este segundo aspecto podría quedar incluido en el primero, pero he preferido deslindarlo porque un lenguaje puede ser preciso pero no conciso. El lenguaje matemático es ambas cosas a la vez: preciso y conciso. El circunloquio, que en determinadas ocasiones puede ayudar a acotar un concepto impreciso, no es algo propio del lenguaje de los matemáticos.

La abstracción propia de los conceptos matemáticos ayuda a considerar los aspectos relevantes de una cuestión, desdeñando lo puramente anecdótico. Muchas veces, en muchas discusiones, asistimos al triste espectáculo de ver convertida la anécdota en categoría.

 Por último, y para no extenderme, la consideración abstracta de los aspectos relevantes de un problema nos permite desarrollar un “modelo” de la cuestión que estamos considerando. Este modelo será susceptible de ser manejado mediante todo el aparato matemático que previamente hemos desarrollado. La viabilidad del modelo nos la dirá su concordancia o discordancia con los hechos observados. En cierto modo, lo que caracteriza al matemático es la posibilidad de crear matemática a la menor oportunidad.

Por todo esto, por sus enormes aplicaciones prácticas en todas las ciencias, y por aspectos que habré dejado con seguridad en el tintero, opino que la matemática debiera ocupar todos los años del bachillerato para todos los alumnos.

Aquello de “éste no vale para las matemáticas” me parece absolutamente inaceptable, por ser estrictamente falso. Nadie pretende hacer un Euler de todos los alumnos, sino evitar que se vean privados de aquellas cualidades descritas anteriormente, y para las que la matemática es la asignatura ideal. Esto sí se puede conseguir de una forma general, aunque habría que cambiar muchos aspectos de la enseñanza de las matemáticas, que la hacen especialmente tediosa para una gran mayoría de alumnos.

La trastienda de la estadística

En un artículo anterior titulado La Estadística intenté caracterizar algunos elementos fundamentales del pensamiento estadístico, a fin de prevenir contra el uso engañoso de la misma por parte de sujetos y empresas interesadas.

Hoy en día, en cualquier carrera científica, o con pretensión de serlo o de aparentarlo, se imparten conocimientos para el manejo de la estadística. Se introduce al alumno en el concepto de variable aleatoria, se le explica lo que es una distribución de una variable, se le enseña lo que es la media, la moda, la mediana, la varianza y la desviación típica de una variable, se le introduce en la distribución normal y, lo más rápido posible, se le adiestra en el uso de diferentes tests para que los aplique. De esta forma se consigue que carreras como la psicología, la sociología, la pedagogía y muchas otras se vean dotadas de todo un aparataje que reafirme su dudoso carácter científico.

La estadística también se usa en física, y en las ingenierías, pero el carácter científico de estos estudios estaba ya muy asentado antes del uso generalizado de la estadística y, por otra parte, la preparación matemática que exigen éstos les permite una comprensión mucho más cabal de lo que he dado en llamar la trastienda de la estadística.

Todo el meollo de la estadística reside en la posibilidad de obtener información sobre una población que se quiere estudiar a partir de una muestra aleatoria de la misma.

Lo que quiero explicar en este corto artículo es por qué es posible lo anterior.

Todos hemos oído hablar de la curva de Gauss, y todos sabemos que se trata de una curva muy importante y de uso muy frecuente en estadística. También sabemos todos que tiene forma de campana más o menos ancha, e incluso que muchas variables de las poblaciones se distribuyen siguiendo una curva con aproximadamente esa forma. Se nos ha dicho que eso ocurre con la altura de los individuos de un país, o con las notas que obtienen los alumnos de una facultad, etc.

Aparte de esto, los alumnos de las carreras con pretensiones científicas saben pasar los parámetros que definen una curva de Gauss ( media y desviación típica ) a unidades tipificadas, para luego consultar una tabla y así obtener una probabilidad.

La verdadera importancia de esa curva con forma de campana viene dada por el teorema del límite central, que es donde reside todo el secreto de la estadística. Este teorema, que relaciona la distribución de cualquier variable aleatoria con la curva de Gauss – también llamada distribución normal -, constituye la verdadera trastienda de toda la estadística.

La curva de Gauss no es importante en estadística porque tenga forma de campana, ni porque muchas variables sigan esa distribución, sino por ese aparentemente complicado teorema – de hecho es complicado – cuyo significado tratamos de desvelar en este escrito.

Daremos la versión del teorema que afecta a lo que es toda la inferencia estadística, a la posibilidad de obtener conclusiones acerca de una población, con un alto nivel de probabilidad de que sean verdaderas, estudiando tan solo una muestra aleatoria.

Supongamos que en una población se está estudiando una variable X cuya distribución en la misma tiene por media m y por desviación típica d. Si obtuviéramos todas las muestras aleatorias de tamaño n de esa población y calculáramos las medias de todas las muestras podríamos obtener, a su vez, una distribución de medias de las muestras.

El teorema central del límite establece que:

1º La distribución de medias muestrales es una distribución de tipo “normal” ( una curva de Gauss) siempre que la población de origen de las muetras lo sea, o incluso aunque no lo sea, siempre que n sea de tamaño al menos 30.

2º La media de la distribución de medias muestrales coincide con la media de la población.

3º La desviación típica de la distribución de medias muestrales es igual a la desviación típica de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Por tanto, a medida que aumenta el tamaño muestral n más concentradas están las medias muestrales en torno a la media poblacional, que es la que nos interesaría conocer.

Hemos visto que lo más importante de este teorema es que, aunque la distribución de la variable en la población no sea normal, sí lo es la distribución de medias muestrales para n igual o mayor que 30. Ésta es la clave, la trastienda, de toda la inferencia estadística, incluyendo la teoría de la estima y el contraste de hipótesis.

Las claves de un problema. La Primitiva (2)

En el artículo anterior nos hemos preguntado por cuántas combinaciones hay de m números, a elegir entre N números, que estén integradas por secuencias de longitudes L1,L2,……..,Ln.

 También podemos plantearnos la pregunta inversa: ¿De cuántas longitudes diferentes de secuencias puede estar integrada una combinación de m números?. Esta pregunta intuitiva no la hemos formulado de forma precisa, porque aún no disponemos de todas las definiciones pertinentes. Una combinación de m números podría estar integrada por m secuencias de 1 número, o por 1 secuencia de m números, o por 2 secuencias de 1 número y por una secuencia de (m-2) números, o por 1 secuencia de 2 números y por otra secuencia de (m-2) números, y ….., por todas las formas de descomponer un número m en sumandos iguales o menores que él.

 Esta segunda pregunta que nos hemos planteado la podemos reducir a las diferentes formas de descomponer un número m en sumandos iguales o menores que él. Si tecleamos en Google partition of integer numbers nos daremos cuenta de la dimensión y la dificultad que encierra la pregunta que acabamos de formularnos.

 En el anterior artículo también nos referimos a la importancia de elegir la notación más apropiada para definir los conceptos implicados en un problema.

Hablamos de que cualquier combinación de m números se puede considerar integrada o compuesta, de forma general, por n secuencias que nombrábamos como s1,s2,s3,….,sn. Llamábamos L1,L2,….,Ln al número de números que componían las respectivas secuencias, y para simplificar las llamábamos las longitudes de las secuencias.

Cualquier secuencia queda perfectamente definida por su número inicial y por su longitud. De esta forma, la secuencia t ( st ) quedará definida por su número inicial ( it ), y por su longitud Lt. Por ejemplo, la secuencia formada por los números (2,3,4,5) queda definida por el número inicial de la secuencia, el 2, y por su longitud, el 4, puesto que la secuencia tiene 4 números.

 Una combinación de m números está formada por n secuencias s1,s2,s3,…,sn. Entre 2 secuencias consecutivas hay un hueco, porque si no lo hubiera habría 1 única secuencia. Al hueco entre s1 y s2 lo llamamos h1, y al hueco entre s(n-1) y sn lo llamamos hn. No hemos definido lo que es un hueco aún, pero seguro que ya todos sabríamos definirlo porque resulta muy intuitivo.

 Hemos dicho que el número inicial de la secuencia t lo vamos a representar por it. El número inicia de la secuencia (t+1) lo representamos por i(t+1). El hueco entre ambas secuencias, que lo llamamos ht, viene definido por ht = i(t+1) -it-1. Por ejemplo, el hueco entre las secuencias (1,2,3) y (7,8) viene definido por 7-3-1= 2.

Con estas nuevas definiciones ya estamos pertrechados para resolver la pregunta del artículo anterior:

¿Cuántas combinaciones de m números se pueden elegir entre N números, de forma que estén compuestas por secuencias de longitudes L1,L2,….,Ln?

También podemos responder a esta otra pregunta:

¿Cuántas combinaciones de m números se pueden elegir entre N números, de forma que estén compuestas por secuencias de longitudes L1,L2,….,Ln, y que, además, tengan huecos h1, h2,…..,h(n-1)?

Para ambas preguntas he conseguido obtener la fórmula que da la respuesta exacta, y que se puede aplicar con éxito a numerosos problemas. Las bases para la demostración acaban de ser ofrecidas en los dos artículos de este blog, y esa tarea la dejo para el lector interesado. Sin duda, el mayor trabajo está ya hecho.

La moraleja de estos dos artículos es que en la correcta formulación de una pregunta está el germen para la respuesta, y que para la correcta formulación es preciso dar las definiciones previas adecuadas y elegir la notación más conveniente. Ambos artículos han sido la historia de un problema.

Las claves de un problema. La Primitiva (1).

Cada problema tiene una pequeña historia detrás, y sucede que una gran mayoría de veces se elude por motivo de espacio, con lo que se pierde lo más esencial del mismo, cual es el conjunto de vericuetos mentales que han conducido a la solución.

 Esta es la historia de cómo una pregunta inicial, fruto de una observación ocasional, se transformó en un problema de mucho mayor alcance. Es la historia, en definitiva, de cómo ir planteando preguntas sucesivas para obtener respuestas.

En una ocasión, mi padre, con motivo de un sorteo de la primitiva me llamó la atención sobre lo frecuente que era que aparecieran 2 números seguidos. En realidad, se refería a lo frecuente que era que salieran al menos 2 números seguidos.

Podríamos preguntarnos por la probabilidad de que salgan exactamente 2 números seguidos, o por la probabilidad de que salgan al menos 3 números seguidos, o exactamente 4 números seguidos, etc.,etc.

La primitiva, como sabemos, es un sorteo en el que entre 49 números se sortean 6. Podríamos generalizar la cuestión, y considerar N números en vez de 49, y también que se sortean m números, en vez de 6. De esta forma, habríamos generalizado bastante la cuestión.

Ahora bien: a esas combinaciones de m números, a elegir entre los N números, desearíamos imponerle las condiciones que apeteciéramos. Querríamos que, por ejemplo, hubiera por un lado 2 números seguidos, por otro 3 números seguidos, por otro 7 números seguidos, por otro 5 números aislados, etc., etc.,etc….. ¿Cómo hacemos para formular esta pregunta intuitiva en términos precisos, en términos matemáticos, susceptible de ser estudiada y resuelta con toda la precisión?

Cualquier combinación de m números podemos suponerla ordenada de menor a mayor, puesto que 2 combinaciones son diferentes si y sólo si los elementos que la constituyen lo son, sin importar el orden en que se consideren.

Si en la combinación de m números, ordenada de menor a mayor, hay 2 números seguidos diremos que hay 1 secuencia de 2, si hay 3 números seguidos diremos que hay 1 secuencia de 3, si hay p números seguidos diremos que hay una secuencia de p números. Si hay 1 número aislado diremos que hay 1 secuencia de 1.

Si nos fijamos en cualquier combinación de m números, ordenada de menor a mayor, veremos que está formada por una secuencia s1, otra secuencia s2,…………., otra secuencia sn. En el caso particular de que estemos ante una combinación de m números seguidos habrá únicamente una secuencia de m números. En el caso particular de que estemos ante una combinación de m números aislados habrá m secuencias de 1 número cada una.

Pondremos un ejemplo: La combinación formada por los números (4, 6, 7, 9, 10, 11 ) está formada por una secuencia s1 de 1 número, el 4,; por una secuencia s2 de 2 números, el 6 y el 7, y por una secuencia s3 de 3 números, el 9, el 10 y el 11.

Llamaremos L1 a la longitud de la secuencia s1, o al número de números que componen dicha secuencia. De forma general, llamaremos Ln a la longitud de la secuencia sn.

Ahora, una vez formuladas con precisión las definiciones pertinentes, podemos formular de forma precisa una pregunta: ¿Cuántas combinaciones de m números se pueden elegir entre N números, de forma que estén formadas por secuencias de longitudes L1, L2,L3,……..,Ln?

De momento tenemos una pregunta bien formulada de ámbito general, lo cual es el requisito previo para encontrar la respuesta. Como veremos en otro artículo de este blog la notación que utilicemos también será fundamental, tanto para formular la pregunta correctamente como para encontrar la respuesta.

La Estadística

La estadística ha sido definida de muchas maneras, una de las cuáles es ésta: existen tres clases de mentiras, las mentiras a secas, las malditas mentiras y las estadísticas; otra es aquella que la define como la ciencia que demuestra que si usted tiene dos autos, y yo no tengo ninguno, los dos tenemos uno. Esta última, tan ilustrativa, se la debemos a Bernard Shaw. En cierta ocasión se pasó una encuesta a los 10000 habitantes de un pueblo para valorar sus aptitudes matemáticas y se encontró una correlación directa entre la habilidad para esta ciencia y el tamaño de los pies; ni que decir tiene que los niños menores de dos años también respondieron la encuesta, y hemos de suponer que sus pies no serían muy grandes.

Bromas aparte hemos de decir que la estadística es una rama de las Ciencias Exactas, y como tal goza de la misma exactitud que la geometría y el álgebra; asunto diferente es la aplicación de esta rama de las matemáticas a otras ciencias o materias. En este pequeño artículo me propongo caracterizar la estadística como ciencia, sin ocuparme del uso que políticos, periodistas, sociólogos y empresas interesadas puedan querer hacer de ella.

La estadística trata de poblaciones y establece afirmaciones sobre parámetros de las mismas, no ocupándose de lo que ocurre con individuos concretos de la población. Una afirmación estadística tipo puede afirmar, por ejemplo, que la mortalidad global tras una intervención de by-pass coronario es del 3%, pero no se ocupa para nada de qué le pasará a fulanito de tal que se va a operar, tiene una fracción de eyección normal, una prueba de esfuerzo negativa y una edad de 30 años. Obviamente, esto es lo que le interesaría saber a este señor particular – pues de ello depende su vida – pero la estadística no se ocupa de él. Cuando la estadística afirma que el tratamiento A es superior al tratamiento B para tratar una enfermedad determinada, esto significa que la probabilidad de que esto que afirmamos se deba al azar tiene una probabilidad inferior al 5%. Lo del 5% es algo convencional, de tal forma que admitimos que cuando un suceso ocurre y la probabilidad de que ocurra es menor de un 5% esto no se debe al azar

¿Qué poblaciones estudia la estadística? ¿Qué parámetros o características estudia en la población objeto del estudio?. Cualquier población puede ser objeto de estudio estadístico, ya se trate de piezas de una fábrica, de leucocitos, de seres humanos o de moléculas de un gas en un recipiente; en cuanto a los parámetros a estudiar, pueden ser asimismo cualesquiera, trátese de piezas defectuosas, del tamaño medio de un leucocito o de la confesión religiosa de una población determinada.

La estadística, como hemos dicho antes, se pronuncia sobre poblaciones, y nunca lo hace sobre individuos concretos pues no sabe a ciencia cierta lo que va a ocurrir con estos; es por esto que la estadística estudia habitualmente un subconjunto de la población, y luego generaliza sus conclusiones a la población completa. Si estudiara la población completa no estaríamos hablando de estadística, pues entonces sí se podría pronunciar sobre cualquier individuo y, además, sus conclusiones serían ciertas, con probabilidad 1.

 El subconjunto de la población que se estudia no es un subconjunto cualquiera, sino que ha de ser representativo de la población a estudiar y, para no introducir variación alguna – a esto en estadística se le conoce con el nombre de sesgo –, se escoge al azar. Este subconjunto escogido al azar se llama muestra.

Es curioso que sea la aleatoriedad, o el azar al elegir la muestra, lo que garantiza que la muestra es representativa de la población. La forma y el nº de elementos de la muestra pertenecen a la técnica estadística y no constituyen el objeto del presente artículo.

De todo esto se desprende que al estudiar una muestra de una población, los resultados no pueden ser absolutamente ciertos, y se deben expresar como una probabilidad; es decir, las afirmaciones de la estadística son probabilísticas.

La estadística como ciencia no explica fenómenos ni establece relaciones causales, sino tan sólo asociaciones estadísticas. Esto, requiere alguna explicación adicional: existe una asociación entre las manchas amarillas de los dientes ocasionadas por el tabaco y el cáncer de pulmón, pero esto no significa que estas manchas sean la causa del cáncer. Cuando estudiamos o comparamos la efectividad de dos tratamientos A y B sobre una enfermedad puede que no tengamos idea en absoluto de la forma de actuación de los tratamientos, pero constatamos una asociación estadística más favorable con el tratamiento A que con el B, y esto lo hacemos con una probabilidad de error inferior al 5%, por lo que convenimos que dicha asociación no es azarosa. Si acudimos a un médico que desconozca las limitaciones del método estadístico y que conoce que el tratamiento A es superior al B para nuestra enfermedad y nos sustituye el B que estábamos tomando por el A, bien pudiera suceder que a nosotros nos resultara más efectivo el B porque nos encontramos en ese 5%, y sin embargo el médico puede considerar que esto se debe a un efecto psicológico, negándose a prescribirnos el tratamiento B.

No podemos prescindir de la estadística porque ésta nos ayuda a estudiar poblaciones completas acudiendo a una pequeña muestra, ahorrando así recursos y tiempo; asimismo, nuestro desconocimiento de realidades muy complejas nos permite al menos establecer asociaciones estadísticas, que nos pueden proporcionar pistas sobre posibles interpretaciones causales que posteriormente serán experimentadas.

Por último, la mecánica cuántica y el principio de incertidumbre establecen que la propia naturaleza de la materia a nivel corpuscular nos impide el conocimiento exacto, pudiendo expresarnos tan sólo a nivel probabilístico. Estas son las razones por las que la estadística invadirá de forma inevitable cada día más nuestras vidas, y espero que este corto artículo haya servido a su propósito: caracterizar la estadística y vislumbrar su esencia, conociendo sus alcances y limitaciones, evitando así que nos puedan vender gato por liebre. He escrito este artículo porque la gran mayoría de libros de estadística para estudiantes inician su estudio mediante una definición de la estadística descriptiva – la media, la mediana, la moda, la desviación estándar – y de la estadística inferencial – distribución binomial, distribución de Gauss, de Poisson, muestra y demás técnicas -, consiguiendo que el estudiante se vea abrumado por tantos métodos que aplica sin comprender que, al final, los árboles le impiden ver el bosque. Espero que esta modesta aproximación conceptual corrija lo anterior en alguna medida.

Te sorprenderá

La teoría de la probabilidad es una de las ramas más fecundas de la matemática. Su origen se remonta al S.XVII, en que el caballero de Meré plantea a su amigo Blaise Pascal dos problemas sobre apuestas.

La definición axiomática de la probabilidad se debe al matemático ruso A.N. Kolmogorov , y que está en íntima conexión con la teoría de la medida.

Su desarrollo ha estado íntimamente ligado al de la estadística, y no hace falta que insistamos mucho en la importancia de esta rama de las matemáticas en nuestros días.

Uno de los problemas más sorprendentes que conozco sobre este tema es el siguiente:

Se trata de un juego entre 2 jugadores. Uno de ellos tiene 100 tarjetitas en blanco, y le dice al otro que va a apuntar en cada una de ellas un número diferente sin que su contricante lo vea. A continuación coloca las tarjetitas boca abajo y las baraja. El otro jugador debe ir levantando las tarjetitas, una a una, y mirando el número que ha apuntado el 1º jugador. En el momento en que estima que se encuentra ante el mayor número que ha apuntado el 1º jugador se planta.

Es decir: el 2º jugador debe acertar el mayor de los números que ha apuntado el 1º jugador, y para eso debe ir levantando tarjetita a tarjetita hasta que estima que se encuentra ante el mayor de los números.

Supongamos que levanto la 1ª tarjetita y veo un 9, la 2ª y veo un 7, la 3ª y veo un 23, y levanto la 4ª y veo un 1000, y decido plantarme. Si resulta que el número 1000 es el mayor de los números que ha apuntado el 1º jugador en las 100 tarjetitas yo gano el juego. Si no es así gana el 1º jugador.

La 1ª pregunta es si existe una estrategia que maximiza la probabilidad de acertar.

La 2ª pregunta es, en caso afirmativo, el valor de dicha probabilidad.

La 3ª y más importante es ésta:

Si el 1º jugador apuesta 30 euros por cada partida, ¿cuál es la máxima cantidad que deberíamos apostar nosotros para asegurarnos a la larga alguna ganancia ?.

Las respuestas a la 2ª y a la 3ª pregunta resultan verdaderamente sorprendentes, al menos para mí.

Lo resolveremos completamente más adelante, en otro artículo de este blog.

AXIOMÁTICA Y SISTEMAS FORMALES

De mis primeros escarceos geométricos recuerdo que se definía la palabra axioma como “aquellas verdades evidentes por sí mismas”. No me he tomado la molestia de comprobar la definición del D.R.A.E. pero no tiene relevancia para este artículo; el lector interesado puede consultarlo por sí mismo y, a la luz de este artículo, comprobar si se trata de una definición ajustada. Esa definición de nuestros primeros estudios habla de “verdades”, y también de “evidentes por sí mismas”.

En una primera aproximación tiendo a pensar que las “verdades” han de ser comprobables o verificables, con lo cual los axiomas debieran referirse a cuestiones empíricas; sin embargo un enunciado como “todos los quaks negros son negros” ha de ser verdadero, existan o no existan los quaks, puesto que su verdad no depende de su comprobación, sino de la estructura gramatical del enunciado; a saber: el predicado es parte del sujeto.

Así pues, las “verdades” aparte de referirse a enunciados verificables también pueden hacer referencia a lo que podríamos llamar “verdades lógicas”. No es el objeto hablar aquí de lo que entendemos por este concepto pues nos desviaríamos del objeto del presente artículo, pero sí señalar que son enunciados tautológicos, es decir, necesariamente verdaderos, mientras que los enunciados empíricos – los verificables – serán contingentemente verdaderos; es decir su verdad deriva de su comprobación efectiva, mas no de ningún principio metafísico que lo haga necesariamente verdadero. Establecida esta diferencia – esencial a mi juicio – entre verdades contingentes y verdades necesarias analizamos la segunda parte de la definición.

Cuando se nos dice “evidentes por sí mismas” se supone que se nos está diciendo que cualquier persona puede ver la verdad de estos enunciados por inmediatos que aparecen a la “inteligencia”. Baste con decir que lo que es evidente para ti, lector, puede no serlo para mí, y viceversa; esto implica un componente de subjetivismo que impregna la definición.

El V postulado de Euclides, enunciado en su forma original, no es precisamente un modelo de evidencia. Precisamente lo complicado del mismo hizo pensar a muchos matemáticos que se trataba de un teorema, por lo que se realizaron numerosos intentos, infructuosos, para demostrarlo. Estos desarrollos, como veremos más adelante, desembocaron en las geometrías no euclídeas

Una vez señaladas las deficiencias de la definición antigua de axioma quisiera hacer un paréntesis para referirme brevemente a la historia. Es bien sabido que el primer gran sistematizador de la geometría fue Euclides. Los egipcios ya tenían conocimientos geométricos dispersos -todos ellos con una orientación eminentemente práctica-, utilizados principalmente para la determinación de áreas de tierras que quedaban borradas por las periódicas inundaciones del Nilo. 

Si bien Euclides sistematizó y axiomatizó estos conocimientos, dándoles un carácter formal, él pensaba que su geometría reflejaba las propiedades del mundo real; en ningún momento trató de crear un exclusivo juego de conceptos lógicos.

Definió conceptos como “punto”, “recta” y “plano” para, a continuación, enunciar los “axiomas” que relacionaban estos conceptos. Es decir, para Euclides, sus axiomas eran verdades evidentes por sí mismas sobre unos conceptos previamente definidos. Todo aquel que entendiese, por “punto” y por “recta”, lo mismo que Euclides parecía razonable que aceptase como verdadero el axioma de que “por dos puntos pasa una única recta”. Los axiomas de Euclides pretendían describir las propiedades de nuestro espacio de una forma “evidente” y sistemática. Fue tal el éxito de este desarrollo que su libro, “Elementos de Geometría”, fue todo un paradigma de modelo de conocimiento, hasta el punto de que en el mundo antiguo – prácticamente hasta Galileo – el método experimental estuvo muy desprestigiado aunque lógicamente existieron honrosas excepciones.

Cualquier historiador de la Ciencia considera este libro como uno de los grandes hitos del pensamiento.

Antes de seguir avanzando por esta senda que nos hemos trazado es preciso hacer un paréntesis obligado, y decir algunas palabras sobre el concepto de definición.

Existen diferentes formas de definir algo; una es la que se utiliza cuando consultamos un diccionario: el concepto definido se delimita en función de otros conceptos ya conocidos. Es la forma común de aprender nuevos conceptos cuando somos adultos; es la llamada definición verbal. Obviamente este proceso no se puede llevar hasta el infinito, y habrá un conjunto de conceptos básicos que tendrán que ser aprendidos sin el diccionario. Es el modo de aprendizaje de los niños, los cuales no conocen palabra alguna, y todo les debe ser mostrado de forma que asocien un sonido a una imagen. Es la llamada definición ostensiva.

Euclides dio una definición verbal de punto, recta y plano; así, recta era “ una serie de infinitos puntos alineados”. Definir “recta” en función de “alineados” y de “infinito” es trasladar el problema de lo definido a la definición. Por otra parte, si “definir” supone delimitar de forma precisa la naturaleza de lo definido, la definición nos permite un exacto conocimiento de lo definido. En este sentido, pues, los axiomas serían una consecuencia lógica de las definiciones y tendrían el carácter de teoremas. Es decir: si todo quedara definido desde el principio los axiomas sobrarían, pues se podrían deducir de las definiciones.

Dado que no es posible definirlo todo en forma verbal habrá que tomar unos conceptos como “primitivos”, en el sentido de no definidos explícitamente, no definidos verbalmente.

El sistema que empleó Euclides adolecía de dos defectos, a saber: haber intentado una definición explícita de conceptos “primitivos”, no reductibles a conceptos más simples, y proponer axiomas sobre conceptos previamente definidos. Esto, sin embargo, no debe restarle grandiosidad a su obra.

La axiomática moderna evita definirlo todo – por imposible -, y adopta una serie de conceptos “primitivos” que no define explícitamente. Relaciona estos conceptos mediante una serie de relaciones – axiomas -, y serán éstas las que constituirán una definición implícita de aquéllos. En esta nueva versión sí son necesarios los axiomas, pues la carencia de definición verbal previa de los conceptos no ha caracterizado aún su naturaleza; serán los axiomas los que nos caractericen aquellos entes que puedan ocupar el lugar de los conceptos “primitivos”. Dicho de otra forma: aquellos entes concretos que, sustituyendo a los conceptos “primitivos”, verifiquen las relaciones expresadas en los axiomas constituirán un “modelo” del sistema axiomático.

Podríamos decir que los axiomas no “definen” unos entes concretos, unos conceptos “primitivos” concretos, sino toda una serie de entes o de conceptos “primitivos”. Los axiomas no versan sobre nada concreto, sobre nada definido explícitamente, sino sobre una “vaguedad” de conceptos “primitivos” restringidos exclusivamente por las propiedades que los axiomas enuncien. ¿De qué estamos hablando entonces? No lo sabemos.

Esta abstracción progresiva de las matemáticas y de los sistemas axiomáticos hizo exclamar a Bertrand Russell: “La matemática es la ciencia en la que no se sabe de qué se habla ni siquiera si lo que se dice es verdadero”. Y así es, en efecto. Si encontramos un modelo para nuestros axiomas entonces, y sólo entonces, podremos saber de qué hablamos y, eventualmente, verificar si los resultados son verdaderos.

A continuación vamos a establecer los rudimentos de un sistema axiomático para plasmar lo explicado anteriormente.

1º. “Gomy” es un “guelfo”.
2º. A todo “guelfo” le corresponde un único “guelfo”.

3º. Si dos “guelfos” son iguales y son los correspondientes de otros dos “guelfos” , éstos también son iguales.

4º. Gomy” no es el correspondiente de ningún “guelfo”.

5º. Si tenemos un conjunto al que pertenece “Gomy” y al que pertenece el correspondiente de un “guelfo” siempre que el “guelfo” pertenezca al conjunto, ese conjunto es el conjunto de los “guelfos”.

Este aparente galimatías establece relaciones entre “guelfos” y “Gomy”, que serían los conceptos “primitivos”. La relación “corresponderse” también queda indefinida; “dos” e “iguales” también guardan su sentido habitual, a no ser que se especifique algo en contra.

Si sustituimos “guelfo” por ladrillo, “Gomy” por primer ladrillo, “corresponderse” por estar situado encima en la misma posición, “dos” por su sentido habitual, e “igual” por ser el mismo ladrillo, los axiomas quedarían así:

1º Todo ladrillo tiene encima un ladrillo.
2º Hay un ladrillo al que llamamos primer ladrillo.
3º Si dos ladrillos son el mismo ladrillo, los ladrillos a que corresponden éstos también son iguales
4º El primer ladrillo no está encima de ningún otro ladrillo.
5º Un conjunto al que pertenece el primer ladrillo y al que pertenece el ladrillo de encima cuando pertenece un ladrillo dado es el conjunto de los ladrillos.

Como vemos, una pila vertical infinita de ladrillos constituiría un modelo de nuestro sistema axiomático.

De igual forma, los números 1,2,3,4,5,6,7,8,………, es decir, la aritmética de números naturales, sería otro modelo válido de nuestro sistema axiomático.

También 7,8,Pepe,9,10,11,12,Juan,13,14,15,16,17,18,19,20.

Sin embargo 1,2,3,4,5,6,7,8,8,9,10,11,12,13,14,………, no valdría, pues violaría el 3º axioma.

Un sistema axiomático como el anterior tiene una infinitud de modelos. La enorme abstracción del sistema axiomático nos brinda la oportunidad de aplicar al modelo los resultados – teoremas – demostrados para el sistema. La cuestión de si un sistema axiomático es verdadero o no, carece de sentido. A un sistema axiomático, como veremos más tarde en detalle, le son aplicables los calificativos de completo o incompleto, consistente o inconsistente. La cuestión de si es verdadero o no – en el sentido de verificable en nuestro mundo -, depende de que el modelo se ajuste más o menos perfectamente a los axiomas. La geometría euclídea no es ni más verdadera, ni más falsa, que la de Lobachebsky o Riemann; será más o menos aplicable a nuestro espacio real, según que los axiomas de una o de otra geometría se adapten más o menos a nuestro universo.

Puede ser que un modelo escogido, entre los muchos posibles, no sea el adecuado, y otro sí lo sea. En nuestro sistema anterior, y a los propósitos de contar, el 1,2,3,4,5,6,7,…….., se muestra mucho más apropiado que la pila de ladrillos, aunque ésta también cumpla – como vimos – los axiomas.

El motivo de haber elegido términos como “guelfo” o “Gomy” para designar a los conceptos primitivos es para aislar la mente del lector de cualquier palabra que pudiera resultarle familiar; de esta manera será de esperar que asigne a los conceptos “primitivos” únicamente aquellas propiedades autorizadas por los axiomas, eliminando las connotaciones conocidas que pudieran tener otros términos comunes. 

Solamente unas breves palabras para exponer las ideas históricas que subyacen al nacimiento de las geometrías no euclídeas. Euclides enunció su V axioma en una forma bastante complicada – este axioma es el equivalente a que “por un punto exterior a una recta pasa sólo una paralela -, y este fue el motivo por el que muchos matemáticos pensaron que quizá fuese un teorema, es decir, que se podría demostrar a partir de los anteriores. Numerosos intentos, en este sentido, resultaron infructuosos, por lo que cada vez fue apareciendo más clara la idea de que en realidad se trataba de un axioma. Si fuera un axioma – pensaron – podemos cambiarlo por otro que diga otra cosa y no aparecerá contradicción alguna. Si fuera un teorema, tarde o temprano tendría que aparecer alguna contradicción. Podemos elegir un axioma que diga que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela, o también otro que dijera que pasan infinitas paralelas.

Si se ha comprendido todo lo explicado anteriormente estos axiomas no deben resultar más disparatados que el axioma de Euclides – el que dice que sólo pasa una paralela -. En efecto, puesto que los axiomas son los que definen – implícitamente – a los conceptos “primitivos”, si cambiamos los axiomas, los conceptos “primitivos” que satisfagan a éstos también deberán cambiar. Los axiomas nos resultarán disparatados si seguimos pensando en la imagen visual de “punto”, “recta” y “plano” que satisfacen los axiomas de Euclides. Si pensamos en otro modelo diferente que satisfaga los nuevos axiomas ya no habrá nada disparatado. El hecho de encontrar un modelo para el nuevo sistema de axiomas nos asegura la consistencia del sistema – la no contradicción -, puesto que si hubiese contradicción no podría existir el modelo. Algo que existe no puede ser contradictorio, por el mero hecho de existir. Luego, si encontramos un modelo para el nuevo sistema – con el V axioma modificado – esto significará que dicho axioma no era un teorema, puesto que si así fuera el sistema sería contradictorio y no podría haberse encontrado modelo algunoTanto la geometría de Lobachebsky – no pasa ninguna paralela – como la de Riemann – pasan infinitas paralelas – han encontrado modelos que la satisfacen, por lo que son consistentes – no contradictorias -.

No vamos a entrar en detalles que nos alejarían del objeto del artículo, pero sí señalar que para los modelos en cuestión los entes que ocupan el lugar de los conceptos “primitivos” no tienen nada que ver con el “punto”, “recta” y “plano” al que estamos acostumbrados.

Es frecuente encontrar en los libros de divulgación científica que para Einstein el espacio real es riemanniano. ¿Qué se nos quiere decir con esto? Obviamente, las propiedades que tenga o deje de tener eso que llamamos “espacio real” tendrán que venir dictadas por la observación. Los sistemas axiomáticos son ajenos a la observación y no tienen que ser un reflejo de este “espacio real”. Ahora bien, como dijimos al hablar de los modelos, determinados entes del espacio físico se pueden acomodar más a las propiedades de un espacio de Riemann que a un espacio de Euclides. Estos entes ocuparían el lugar de los conceptos “primitivos” y, en este sentido, solamente en éste, podremos decir que el “espacio real” es riemanniano. Es decir, elegidos ciertos entes del espacio físico, parece ser que el “espacio real” constituye un modelo más adecuado de espacio de Riemann que de Euclides. Esto pertenece al campo de la observación y al campo de la física, y bien pudiera ser que mañana se viera que el mundo real se adapta mejor a otro tipo de espacio, sin que esto afectara para nada a los espacios de Riemann.

Esta especie de circunloquio, en la que repito de diversas formas la misma idea – aún a riesgo de resultar reiterativo -, es un recurso de utilidad cuando uno pretende que lo entiendan; expresar de múltiples formas una idea – por lo general compleja – facilita que más personas sean capaces de captar lo que se expresa, pues lo que para unos resulta ser una expresión feliz y acertada no lo es para otros. Todo sistema axiomático debiera reunir, al menos, dos condiciones para que resultase lógicamente impecable: ser consistente y ser completo. Se dice que un sistema axiomático es consistente cuando es lógicamente no contradictorio, o lo que es lo mismo, cuando las proposiciones p y no p no pueden coexistir en el sistema.

Decimos que un sistema es completo cuando cualquier enunciado sobre conceptos “primitivos”, o sobre conceptos definidos a partir de éstos, puede ser demostrada en el sistema, o, expresado de otra forma, cuando cualquier proposición sobre los conceptos del sistema es, o bien un axioma, o bien un teorema. A principios del S. XX, el más famoso matemático de la época, David Hilbert, se propuso la difícil tarea de encontrar un sistema que permitiese la demostración de cualquier teorema, en la creencia de que esto era siempre posible – demostrarlo todo -.

Gödel demostró que tal propósito era imposible y que cualquier sistema axiomático suficientemente expresivo – tal cual la aritmética o la teoría de conjuntos –, para ser consistente ha de ser incompleto, en el sentido de que habrá proposiciones, indecidibles, que no podrán ser demostradas en el sistema. 

Sistemas axiomáticos más simples, como la Lógica de enunciados de Principia Mathematica, de Russell y Whitehead, como también demostró Emile Post, sí son al tiempo consistentes y completos. Asimismo, en 1920, Hilbert y Ackerman demostraron que la lógica de predicados de Principia Mathematica era consistente, demostrando Gödel en 1930 que tal sistema era, asimismo, completo.

Hemos tratado, de forma muy condensada, temas de suficiente complejidad como para requerir un esfuerzo por parte del lector, y hemos omitido todo el simbolismo inherente al tratamiento de estos temas para facilitar la comprensión conceptual. El tratamiento detallado de sistemas axiomáticos exige la utilización de símbolos que permita expresar las fórmulas del sistema. Este tratamiento, obligado al analizar sistemas concretos, hacen que el hombre culto con deseos de entender rehuya estas lecturas. Para terminar puntualizaré de forma concisa los elementos que debiera reunir todo sistema axiomático. Un sistema axiomático S bien diseñado debe cumplir los siguientes requisitos:

Una lista de las letras y demás símbolos a utilizar en S. Una serie de reglas que establezcan qué complejos de signos son enunciados bien formados en S. Una lista completa de aquellos enunciados bien formados en S que van a ser utilizados como axiomas. Una lista completa de las definiciones utilizadas en el sistema. Una exposición de las condiciones necesarias que debe reunir una demostración, dando por resultado un teorema en S. Una lista completa de las reglas de deducción en S, reglas que determinarán y limitarán los movimientos u operaciones a realizar con los enunciados bien formados de S. En el caso de que puedan utilizarse en S los teoremas de alguna otra rama de la lógica o la matemática, deberá haber una estipulación que así lo especifique.

Hoy en día la mayor parte de las grandes ramas de la matemática se hallan axiomatizadas, y este método ha alcanzado un éxito sin precedentes pues su enorme abstracción le concede una enorme generalidad. Cualquier demostración realizada, por ejemplo, en teoría de grupos, se puede aplicar a la infinidad de modelos de grupo existentes.

Ahora sí acabo, de verdad, para señalar que he procurado en este artículo poner al alcance de los lectores de una forma rigurosa y clara, alejada de los tecnicismos propios de la materia, un tema que es a la vez importante y complejo. Espero haber conseguido, al menos en parte, mi objetivo