El infinito

“Pensar” el infinito produce un poco de vértigo, porque cuando parece que estamos a punto de acabar todavía nos queda un poco más, y de nuevo otra vez a empezar. Es el cuento de nunca acabar. Por eso, de una vez por todas: no volvamos a “pensar” en el infinito. Nosotros sólo podemos pensar en lo finito, y sin alejarnos mucho, y todo lo que queramos saber del infinito tendrá que ser por medio de lo finito.

Desde hace mucho tiempo se sabía que en una sucesión, tal como 1,4,9,16,25,36,…llegaría un momento en que sus términos serían mayores que cualquier número prefijado, y cuando esto ocurría decíamos que esa sucesión tendía a infinito. De la misma forma, una función, tal como y = 1/x, se haría mayor que cualquier número prefijado a medida que x se acercase, mediante números positivos, a cero. Cuando esto ocurriera diríamos que la tal función tiende a infinito cuando x tiende a cero. El lector habrá advertido que no hemos definido lo que es “tender a “, pero eso no es lo importante ahora. Lo único que importa es que podemos hablar de infinito, de que una sucesión o una función tienden a infinito, si sus valores se hacen mayor que cualquier número M, por grande que éste sea. Por tanto, ya no tenemos que “pensar” el infinito, sino demostrar que los valores de la sucesión, o de la función, se hacen mayores que cualquier número M. De una forma parecida, aunque más precisa, se definió el infinito potencial, el “tender hacia infinito”.

Sin embargo, el infinito actual, los conjuntos que contienen infinitos términos, como el conjunto de los números naturales, el de los puntos de un segmento, el de los puntos de un cuadrado, el de los números complejos, etc, etc., se incluían todo en un mismo saco, y se decía que contenían infinitos elementos. A Cantor, en el S.XIX, se le ocurrió extender la definición de cardinalidad de un conjunto a conjuntos infinitos, y dijo que dos conjuntos tenían el mismo cardinal si se podía establecer entre ambos una correspondencia biunívoca ( una correspondencia uno-uno entre los dos conjuntos ). Nos llevamos la sorpresa de que el conjunto de los números pares, por ejemplo, y el de los números naturales, tienen el mismo cardinal.

Esto contradice el principio aristotélico, de que “el todo es mayor que la parte”. Parecía un principio tan claro, y se nos viene abajo. Pues sí, pero ya era hora. Nos resultaba tan claro porque estábamos extendiendo nuestra intuición de lo finito a lo infinito. Ese principio sólo es válido para los conjuntos finitos. De hecho, a partir de ahora vamos a definir los conjuntos infinitos como aquellos que se pueden poner en correspondencia biunívoca con alguna de sus partes, y vamos a definir como conjuntos finitos aquéllos en que lo anterior no es posible.

Esta idea de Cantor, aparentemente simple, encierra una gran profundidad, una gran originalidad y una extrema fecundidad. De entrada nos permite comparar los diferentes conjuntos infinitos, que antes estaban todos en un mismo saco. Así, podemos saber, por ejemplo, que el conjunto de los números racionales ( las fracciones ) se puede poner en correspondencia biunívoca con el de los naturales. A la cardinalidad de estos conjuntos, y a la de todos aquellos que se puedan poner en correspondencia biunívoca con ellos, le llamó Cantor Aleph 0. También podemos saber que los números reales no se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales. A la cardinalidad de este nuevo conjunto infinito, le llamó Cantor Aleph 1.

Es posible conocer, también, que el número de puntos de un segmento tiene la misma cardinalidad que todos los puntos de la recta, y que el número de puntos de un cuadrado, o que el número de puntos de un cubo. También podemos saber que el número de números irracionales tiene por cardinal Aleph 1.

Si un polinomio de grado n lo igualamos a cero, tenemos lo que se llama una ecuación polinómica. Llamamos número algebraico a aquel que es solución de alguna ecuación polinómica, y número trascendente al que no lo es. Algunos números trascendentes famosos son el número e, el número pi, etc. Desde Cantor, y gracias a él, sabemos con facilidad que el cardinal de los números algebraicos es Aleph 0, y el de los trascendentes Aleph 1.

Durante mucho tiempo, Cantor estuvo intentando demostrar la conjetura del continuo, que establecía que entre Aleph 1 y Aleph cero no existía ningún conjunto con una cardinalidad intermedia. No lo logró. No fue hasta principios de los 60 del S.XX,  cuando Cohen demostró que dicha cuestión era un indecidible en la teoría de conjuntos. Podemos añadir un nuevo axioma que diga que hay un cardinal intermedio, o bien añadir un nuevo axioma que afirme que no lo hay, y ambos sistemas serán consistentes, aunque obviamente incompatibles entre sí.

Excepto el teorema de Cohen, el resto de las afirmaciones sobre cardinalidad vertidas en este artículo están al alcance del lector, algunas de ellas no exentas de esfuerzo. Espero que esto último sirva para ilustrar la enorme fecundidad de la idea de Cantor, y que este artículo sea un homenaje más a este genial matemático.

Las definiciones

El Diccionario de la Real Academia Española, en su primera acepción sobre “definir” nos dice: “Fijar con claridad, exactitud y precisión la significación de una palabra o la naturaleza de una persona o cosa”.

 Grosso modo existen dos formas, bien diferenciadas, de aprender nuevas palabras. La primera forma, y a la que acudimos con mayor frecuencia los que manejamos algunas palabras, es el diccionario. El significado de la nueva palabra quedaría, de esta forma, fijado con claridad, exactitud y precisión, en función de otras palabras cuyo significado nos debe ser conocido. Esta primera forma de definición constituiría lo que podríamos llamar definicón verbal.

 Sin embargo, los niños, que no conocen palabras, no pueden aprender así. Ellos deben aprender por asociación de un sonido con una “imagen”, ya sea ésta visual, auditiva, olorosa, táctil, etc. Habrá que decirles “lluvia”, y hacer que la sienta. Este otro tipo de definición, tan importante también, se llama definición ostensible, puesto que a la vez que pronunciamos la palabra mostramos el objeto. Todos aquellos conceptos, u objetos, esencialmente sensuales, no habrá otra forma de definirlos. No se me ocurre otra forma de definir lo “agrio” que dando a probar algo con ese sabor tan especial.

Una materia en la que hay ser especialmente cuidadoso con las definiciones, en cuanto a la precisión se refiere, son las matemáticas. ¿Qué clase de definiciones usaremos en esta materia, la verbal o la ostensible?. La verbal parece más seria para una materia como las matemáticas pero, ¿qué hacemos con los primeros conceptos, con los “primitivos”?.

Podemos hacer dos cosas:

Si tenemos una “imagen” previa del concepto a definir podemos intentar dibujarla de forma aproximada, para que se aprenda por abstracción progresiva. Podemos dibujar simulacros de segmentos, cada vez más delgados, y cada vez más largos, hasta que se logre captar el concepto de “recta”. Ahora bien: esto puede servir, tan sólo, para aquellos conceptos de los que poseemos una “imagen”.

Si no disponemos de una “imagen” de lo que queremos definir como, por ejemplo, para los conceptos de las geometrías no euclídeas habrá que transmitirlos de otra manera. Lo hacemos enumerando propiedades de esos conceptos - sean éstos lo que sean -, de tal manera que cualquier conjunto de conceptos, de los que dispongamos de una “imagen”, y que cumplan dichas propiedades, constituirá un modelo de aquellos conceptos. Esto es lo que se conoce como definición axiomática, que es la que de forma generalizada se ha impuesto en la matemática actual.

Nuestra “imagen” clásica de “punto” y de “recta” cumplen los axiomas de la moderna geomtría euclídea, pero también los cumplen un par ordenado de números reales (a,b) y la ecuación algebraica de la forma a.x+b.y+c = 0. Por tanto, ambos constituyen un modelo de la geometría euclídea.

Como hemos visto, cada conjunto de conceptos previamente conocidos que cumplen los axiomas de la definición constituyen un modelo para los conceptos que queremos definir. A los conceptos que pretendemos definir de esta manera - mediante una definición axiomática - es preferible no llamarlos conceptos, pues están situados en un nivel de abstracción mayor que los conceptos de los modelos. Podemos llamarlos conceptores, y de hecho así se hace.

Así, mientras en la moderna geometría euclídea, “punto”, “recta” y “plano” serían conceptores, nuestras antiguas imágenes euclidianas de “punto”, “recta” y “plano” constituirían un modelo, y serían, por tanto, conceptos. De igual forma, un par ordenado de número reales (a,b), la ecuación a.x+b.y+c = 0, y la ecuación a.x+b.y+c.z+d = 0 también constituyen un modelo para los conceptores, y son, por tanto, conceptos.

Así, la matemática moderna no define tanto conceptos como “conjuntos de conceptos” que cumplen determinadas propiedades; esto es: estructuras. Así, conjuntos de lo más diversos pueden tener la misma estructura, y los resultados obtenidos en abstracto para los conceptores se podrán aplicar, por igual, a los conceptos de esos conjuntos tan diversos.

Es éste un tema difícil y árido, pero que merece ser pensado, pues constituye el pilar conceptual fundamental de toda la matemática moderna.

El papel de las matemáticas en la educación

Siempre se ha insistido en la importancia de las llamadas humanidades para la formación del individuo, y sobran razones para hacerlo. Nuestra cultura no se puede entender sin atender a nuestra raíces derivadas del pensamiento griego, a nuestro derecho y a muchas de nuestras instituciones, derivadas del legado romano y de su lengua, el latín, así como sin atender a nuestra tradición judeocristiana. Renunciar a ello sería prescindir de nuestra historia, y no hay forma más cabal de situarnos en nuestro mundo que guardando nuestras referencias espacio temporales. Sin saber de dónde venimos, difícilmente podremos comprender lo que somos ni a dónde vamos. Tampoco me parece conveniente renunciar a conocer la historia de las grandes ideas que han influido de forma notable en nuestro modo de afrontar el mundo. Una historia de las grandes ideas filosóficas me parece esencial para saber lo que somos, y lo que podemos ser.

Se ha insistido mucho menos, sin embargo, en la importancia de las matemáticas en la formación del hombre culto. A las matemáticas siempre se le ha concedido una importancia utilitaria, en orden a su aplicación más inmediata. Todo el mundo comprende que no se puede vivir sin sumar, ni sin dividir, y muchos padres estiman la valía de sus hijos para las matemáticas por su capacidad para hacer las cuentas. Sin embargo, muchos menos reparan en su importancia para la formación integral de la persona.

 Esto no siempre fue así, y en la antigua Grecia Platón tenía expuesta en su escuela una leyenda en la que prohibía entrar a quien no supiera geometría, la disciplina matemática por excelencia de los antiguos griegos. Algo que no debe extrañar, dada la enorme afición de los griegos al pensamiento deductivo.

La matemática debe enseñar a dudar de todo aquello que no haya sido explícitamente demostrado, y a rechazar dos ideas contradictorias entre sí, mutuamente excluyentes. Es el mundo de la creación pura, limitado exclusivamente por las reglas del pensamiento lógico. Es el mundo de las estructuras, entendidas éstas como entidades que deben gozar de unas propiedades, y nos conduce directamente a la teoría de modelos, que no son más que estructuras simplificadas de la realidad que nos permiten su estudio cada vez más aproximado.

Estas cualidades, por sí mismas, deberían ser suficientes para estudiarlas con cierta profundidad y con método. Sin embargo, la importancia de su estudio trasciende el mero campo de las matemáticas, pues dota a quienes la estudian como es debido de un espíritu dubitativo y escéptico muy saludable para afrontar con éxito el enorme impacto de toda la propaganda mediática al que nos vemos sometidos. Una persona que ha internalizado el método matemático - aunque no sepa matemática superior - se preguntará por si existen razones suficientes para creer ciertas cosas y para dudar de otras. 

El método matemático también enseña a separar el grano de la paja, y a afrontar las discusiones de todo ámbito centrando las cuestiones y evitando la digresión. También enseña a elegir las reglas del juego más apropiadas - los axiomas - para el juego que nos disponemos a afrontar, así como a respetarlas inexorablemente una vez elegidas - en matemáticas no se cambian los axiomas a conveniencia -. Si nuestro Estado de Derecho dispusiera de más personas con mentalidad matemática es posible que no nos dieran el espectáculo al que nos tienen acostumbrados.

Aparte, las matemáticas son bellas. No se trata de una belleza sensual como la de las artes plásticas, sino de una belleza austera, intelectual, que se expresa con las palabras precisas, de forma concisa y unívoca. Al contrario que la belleza plástica, subjetiva por naturaleza, la belleza matemática es objetiva pues obedece al principio de no contradicción, y su expansión creativa está limitada por las reglas del pensamiento lógico.

En este corto artículo he abordado exclusivamente el papel de las matemáticas en la formación integral del individuo, sin ocuparme de su importancia particular para todas las ramas del conocimiento científico.

Todos los estudiantes, sin excepción, ya fueran a cursar Ciencias o Letras, debieran captar la esencia del método matemático para que su espíritu se viera beneficiado de sus indudables virtudes. Obviamente, el contenido será más amplio para aquellos alumnos que opten por cursar Ciencias.

Es falso, pero ¡qué bien funciona!

Galileo dijo que la naturaleza estaba escrita en lenguaje matemático, y desde entonces muchos son los que han repetido la misma frase de forma mecánica, sin pararse a pensar lo que están diciendo.

Ha sido tan útil, y tan generalizada, la aplicación de la matemática a la Física que uno podría sentirse tentado a pensar algo así. Sería, sin embargo, una visión idealista de la realidad que no tiene mucho fundamento. La naturaleza no contaba con nosotros, ni sabía qué tipo de matemáticas inventaríamos. Resulta más natural pensar al revés: los conceptos matemáticos fueron creados por el hombre para comprender mejor la naturaleza. De esta forma obviamos la estereotipada explicación de que la naturaleza estaba contando con nuestra aparición en el planeta Tierra, poco humilde por nuestra parte.

Así debieron surgir los números, tras el esfuerzo de muchas generaciones, y los primeros conceptos geométricos. Ni lo uno ni lo otro existen en la naturaleza, pero ya hemos visto lo útiles que nos han resultado.

A los antiguos egipcios, las inundaciones periódicas del Nilo los impulsaron a desarrollar el concepto de área y a calcular las áreas de los terrenos que podían quedar borrados por las mismas. Fueron los primeros balbuceos de la matemática aplicada. Más tarde, en Grecia, Euclides, sistematizó en un cuerpo teórico toda la geometría conocida en una forma parecida a como se estudia - o como se estudiaba - en los colegios. Fue el comienzo de la matematica abstracta, teórica, sin vistas a una aplicación inmediata.

En la mecánica clásica, newtoniana, resulta muy útil el concepto de sólido rígido. Se trata de un concepto matemático, que tampoco existe en la realidad. Se define como un conjunto de n partículas tal que dos cualesquiera de éllas están siempre a la misma distancia entre sí. Sabemos que los átomos están continuamente vibrando ( salvo, teóricamente, en el cero absoluto ) y que el sólido rígido es una ficción. Sin embargo esta abstracción, esta modelización de la realidad, nos permite aplicarle un imponente aparato matemático creado a a tales efectos. El asunto es que, a los efectos del estudio del movimiento, nuestra ficción funciona, ¡ y cómo lo hace !.

A nuestra escala de velocidades, incluida la de los cohetes espaciales, la mecánica de Newton funciona perfectamente aunque sepamos, desde Einstein, que los tiempos y los espacios dependen de la velocidad del observador que los mide.

Las matemáticas aplicadas son modelizaciones de la realidad que, dependiendo del ámbito en que nos movamos, se adaptan mejor o peor, o, lo que es lo mismo, predicen mejor o peor lo que va a suceder y tienen, por tanto, mejor o peor poder explicativo.

Karl Popper introdujo para los modelos el concepto de falsabilidad, requisito indispensable para que cualquier modelo científico de la realidad pudiera ser refutado.  Desde este punto de vista, teorías tan importantes como el psicoanálisis o la teoría de la evolución, no pueden ser incluidas como teorías científicas por no ser falsables, según el propio Popper. Cualquier modelo que haya sido falsado debe ser abandonado.

 Hoy somos algo menos restrictivos, y los modelos no son abandonados por el mero hecho de haber sido falsados. La mecánica de Newton ha sido falsada por el experimento de Michelson y Morley, y la teoría de la relatividad se justa más a los hechos observados. Sin embargo Newton sigue vigente, y a la escala de velocidades en que nos movemos el modelo funciona extraordinariamente bien, aunque sea falso.

Probablemente lo que llamamos verdadero, o falso, es una forma de interacción entre nuestro aparato perceptor y la realidad. Decimos que una teoría aparece como verdadera cuando es capaz de explicar, y de predecir, fenómenos que nuestro aparato perceptor pondrá de manifiesto. Quizás otros seres inteligentes, dotados de otro aparato perceptor, obtuviesen otra teoría diferente, igualmente válida para explicar todos los fenómenos que su aparato peceptor pudiera captar. ¿Cuál de las dos teorías describiría, entonces, la realidad?. Podríamos decir que las dos, y podríamos decir que ninguna. Quizás la realidad no sea más que eso: nuestra mejor aspiración de descripción de la naturaleza.

Hemos explicado que las matemáticas surgieron como modelos para explicar la naturaleza, y que pueda haber - y de hecho hay - muchas matemáticas diferentes y muchos modelos explicativos, con mayor o menor éxito.

En otro escrito de este mismo blog, titulado Cerebro y Lógica, se defiende la hipótesis de que la Lógica, sin embargo, es algo universal, a diferencia de las matemáticas.

La Lógica, la Matemática, el razonamiento, el discurso y la cháchara

En este escrito me propongo caracterizar lo que entiendo por estos conceptos.

A mí me interesa, particularmente, esclarecer brevemente las relaciones
entre las palabras arriba citadas.

La Lógica, ya sea la clásica, la moderna bivalente, la trivalente, las
polivalentes, las difusas, o cualesquiera otras que se puedan inventar,
tratan de establecer una serie de reglas formales para el razonamiento
correcto.

La Lógica opera paso a paso, y da cuenta de todos y cada uno de
los supuestos implicados en nuestro corriente razonar correcto. Llamo
correcto al razonamiento seguro, al que contiene una probabilidad cero de
error, para diferenciarlo del razonamiento corriente, el más frecuente, que
sólo puede ser probable en un grado mayor o menor.

La lógica es pensar sobre nuestro pensamiento, y encontrar y analizar las reglas que lo sustentan. Un razonamiento lógico realizado por un lego puede llevarle a un lógico veinte
pasos desmenuzarlo. Desde este punto de vista considero a la Lógica una
materia absolutamente estéril, lo cual no quiere decir carente de interés.

Aquellos que se zambullan en el campo de la Lógica pensando que así
dispondrán de una herramienta imprescindible para la discusión dialéctica, y
que podrán aplicarla con éxito a cualquier debate están absolutamente
equivocados. Sí puede, sin embargo, prevenir contra la inmensa cantidad de
cuestiones que aceptamos sin el menor espíritu crítico.

De la Matemática muchos pensaron que podría expresarse toda ella en términos
lógicos, y ser así una extensión de la misma. Esto sucedió en el S.XIX, tras
la aritmetización del análisis por Cauchy, Dedekind y otros, y tras la
invención por Cantor de la noción de conjunto y el primer cálculo lógico
moderno realizado por Frege. Hoy nadie piensa así, y la matemática se
considera algo mucho más amplio que la mera Lógica.

Sin duda es algo mucho más fecundo, y nadie puede estudiar Ciencias, en un sentido amplio, sin disponer de esta potentísima herramienta. Incluso el tratamiento de nuestra
incertidumbre, la medición de la misma, la realizamos con un aparato que nos
brinda la matemática: la teoría de probabilidades. El enorme grado de
abstracción de sus teorías y estructuras hacen que cada vez más campos de la
realidad se beneficien del conocimiento de esta disciplina. Por lo tanto la
matemática no puede resultar más útil, si al campo de las ciencias nos
referimos.

El razonamiento es algo muy general, difícil de definir, difícil de
delimitar con precisión, pero que lo aplicamos con mayor o menor acierto a
la mayor parte de nuestras actividades. De hecho creo, con fundamento, que
algunos animales “razonan” a su manera, mientras que muy pocos - yo no
conozco a ninguno - han demostrado el teorema de Gödel o el cálculo de
variaciones. El razonamiento es algo mucho más general, mucho menos preciso,
mucho menos exigente, mucho más equívoco, muy sometido a la prueba de
“ensayo y error”, pero al mismo tiempo el de más amplio ámbito de
aplicación, el de uso más generalizado.

No deja de ser curioso que el más imperfecto sea el de mayor amplitud de aplicación, y el más perfecto - la Lógica - el de un ámbito de aplicación mínimo. Además ésta - la Lógica - no existiría sin el requisito previo de ese razonamiento imperfecto al que
ahora me refiero. Este razonamiento común, diferente del razonamiento lógico
común - que no contiene error, si está bien realizado -, sería el más
interesante de analizar pero sospecho que requeriría muchos capítulos.

El discurso, oral o escrito, es la expresión articulada de nuestros
pensamientos. Una característica crucial de éste es, pues, el orden en la
presentación de las ideas, la coherencia de las mismas y su capacidad
interpretativa o explicativa del objeto de nuestro discurso. No me refiero
con discurso a una mera exposición ordenada de datos, sino también a una
interpretación de los mismos que permita explicar la realidad objeto del
discurso, y también, si es posible, una predicción más o menos general de
fenómenos que nuestro discurso pueda prever. Esto no siempre tiene por qué
ser posible, pero ayudaría a falsar nuestro propio discurso, dotándolo de
esta forma de un espíritu más científico y de un talante - esta vez sí -
menos dogmático.

La cháchara es lo más corriente, lo más común. No precisa de orden ni de
concierto, ni de predicción, ni de falsación, ni de gaitas. Sólo precisa de
lengua o  de teclado, de deseos de espetar algo,  y de ausencia de todo
espíritu crítico con uno mismo. También precisa de razonamiento, aunque éste
presente tintes más cercanos a los primates que al aspirante a “homo
sapiens”.

Discutir

Antes de iniciar una discusión quizás debiéramos preguntarnos por el propósito de la misma. ¿Lo hacemos por imponer nuestro punto de vista?. ¿Lo hacemos para convencer de una supuesta verdad que creemos conocer?. ¿El motivo es para contraponer argumentos y aceptar, provisionalmente, aquellos que gocen de mayor verosimilitud?. ¿Lo hacemos para engañar a otros con argumentos falaces pero sutiles?. ¿Quizás sólo por el placer de llevar la contraria, aunque estemos de acuerdo con nuestro adversario?. ¿Lo hacemos, simplemente, por el apasionamiento que suscita en nosotros el contenido de la discusión?

Hemos señalado algunas de las razones principales que nos pueden llevar a iniciar una discusión, y quizás haya algunas más. La cuestión a dilucidar en este escrito es, de las razones mencionadas, cuáles de ellas pueden merecer el desgaste de energía que la discusión suscita y cuáles, por el contrario, podrían ser obviadas.

Para imponer un punto de vista no hay que discutir, pues si se dispone de poder para ello, y se tiene voluntad de hacerlo, se impone sin más y uno se ahorra la discusión. Si no se dispone de poder mejor será que no se note que queremos imponer nada, pues nada es merecedor de menos respeto que el ansia de imponer algo sin argumentos. En ambos casos, con poder o sin él, la discusión se puede soslayar.

Si creemos que estamos en posesión de una determinada verdad, y deseamos hacer partícipes a los demás de la misma, debemos contar con argumentos para exponerla. Cabría suponer que los argumentos en los que yo he reparado sirvieran de motivo de reflexión a nuestro interlocutor, de forma que la discusión pudiera hacer que cambiara su punto de vista. No obstante, si nuestro adversario está previamente convencido de otra “verdad”, no merece la pena iniciar discusión alguna. Es preciso que albergue alguna duda, y que se muestre abierto a contemplar nuestros argumentos.

La sana y desapasionada contraposición de argumentos es, quizás, la forma más fructífera para iniciar una discusión porque ambos contendientes disponen de las mejores herramientas para pulir los argumentos que sostienen su creencia. Por contra, suele ser el motivo más infrecuente de iniciar una discusión.

 La razón de engañar a otros con argumentos falaces, aunque sutiles, me parece un motivo justificado para iniciar una discusión. De hecho, creo, es uno de los motivos más frecuentes de las discusiones, aparte del sentimental. Quizás sea el motivo para el que genéticamente estemos más condicionados, porque es el que más puede ayudar a nuestros intereses y a nuestra supervivencia. Es importante elegir adecuadamente a la presa, y el objeto del discurso sofista debe ir dirigido a aquellos susceptibles de ser convencidos. No se puede vender una enciclopedia a quien no está dispuesto a comprarla. Nuestro éxito al elegir este motivo para iniciar una discusión dependerá, pues, de nustra capacidad argumentativa y dialéctica y, si no más, de nuestra capacidad para vender el producto.

Discutir sólo por el placer de llevar la contraria me parece un motivo justificadísimo. Por de pronto nos garantizamos un placer, lo cual no es poco en los días que corren. Por otra parte, nos vemos obligados a ejercer nuestro ingenio, poniendo a punto todo tipo de falacias y, por último, contribuimos a que nuestro adversario afine su argumentación y su capacidad de réplica. Se trata del puro placer de la discusión, del motivo más desinteresado. Es la discusión del sofista por antonomasia. No buscamos nada, ni siquiera una “verdad”, sino tan solo placer. Es, desde este punto de vista, la discusión más artística que existe y me muestro dispuesto a situarla entre las razones más nobles para discutir. Sin embargo, quizás sea el motivo que goce de peor prensa.

Por último, está el motivo de discutir porque la cuestión despierte nuestra emotividad. Creo que es, junto al motivo de engañar a los otros, el más frecuente para iniciar una discusión. También es el motivo más torpe, si no sabemos disimularlo. Si lo sabemos es que dominamos eso tan de moda de la inteligencia emocional, y podemos incluirlo en el motivo del engaño a otros. Las discusiones emotivas están destinadas a hacernos sufrir, pues nuestro rival, sin apenas argumentar, sabe depositar la sal en la herida que le hemos mostrado. Los sentimientos no están para discutir, sino para sentir.

Las claves de un problema. La Primitiva (1).

Cada problema tiene una pequeña historia detrás, y sucede que una gran mayoría de veces se elude por motivo de espacio, con lo que se pierde lo más esencial del mismo, cual es el conjunto de vericuetos mentales que han conducido a la solución.

 Esta es la historia de cómo una pregunta inicial, fruto de una observación ocasional, se transformó en un problema de mucho mayor alcance. Es la historia, en definitiva, de cómo ir planteando preguntas sucesivas para obtener respuestas.

En una ocasión, mi padre, con motivo de un sorteo de la primitiva me llamó la atención sobre lo frecuente que era que aparecieran 2 números seguidos. En realidad, se refería a lo frecuente que era que salieran al menos 2 números seguidos.

Podríamos preguntarnos por la probabilidad de que salgan exactamente 2 números seguidos, o por la probabilidad de que salgan al menos 3 números seguidos, o exactamente 4 números seguidos, etc.,etc.

La primitiva, como sabemos, es un sorteo en el que entre 49 números se sortean 6. Podríamos generalizar la cuestión, y considerar N números en vez de 49, y también que se sortean m números, en vez de 6. De esta forma, habríamos generalizado bastante la cuestión.

Ahora bien: a esas combinaciones de m números, a elegir entre los N números, desearíamos imponerle las condiciones que apeteciéramos. Querríamos que, por ejemplo, hubiera por un lado 2 números seguidos, por otro 3 números seguidos, por otro 7 números seguidos, por otro 5 números aislados, etc., etc.,etc….. ¿Cómo hacemos para formular esta pregunta intuitiva en términos precisos, en términos matemáticos, susceptible de ser estudiada y resuelta con toda la precisión?

Cualquier combinación de m números podemos suponerla ordenada de menor a mayor, puesto que 2 combinaciones son diferentes si y sólo si los elementos que la constituyen lo son, sin importar el orden en que se consideren.

Si en la combinación de m números, ordenada de menor a mayor, hay 2 números seguidos diremos que hay 1 secuencia de 2, si hay 3 números seguidos diremos que hay 1 secuencia de 3, si hay p números seguidos diremos que hay una secuencia de p números. Si hay 1 número aislado diremos que hay 1 secuencia de 1.

Si nos fijamos en cualquier combinación de m números, ordenada de menor a mayor, veremos que está formada por una secuencia s1, otra secuencia s2,…………., otra secuencia sn. En el caso particular de que estemos ante una combinación de m números seguidos habrá únicamente una secuencia de m números. En el caso particular de que estemos ante una combinación de m números aislados habrá m secuencias de 1 número cada una.

Pondremos un ejemplo: La combinación formada por los números (4, 6, 7, 9, 10, 11 ) está formada por una secuencia s1 de 1 número, el 4,; por una secuencia s2 de 2 números, el 6 y el 7, y por una secuencia s3 de 3 números, el 9, el 10 y el 11.

Llamaremos L1 a la longitud de la secuencia s1, o al número de números que componen dicha secuencia. De forma general, llamaremos Ln a la longitud de la secuencia sn.

Ahora, una vez formuladas con precisión las definiciones pertinentes, podemos formular de forma precisa una pregunta: ¿Cuántas combinaciones de m números se pueden elegir entre N números, de forma que estén formadas por secuencias de longitudes L1, L2,L3,……..,Ln?

De momento tenemos una pregunta bien formulada de ámbito general, lo cual es el requisito previo para encontrar la respuesta. Como veremos en otro artículo de este blog la notación que utilicemos también será fundamental, tanto para formular la pregunta correctamente como para encontrar la respuesta.