Recorre el camino

Este es un problema que se planteará al lector de forma intuitiva, pero suficientemente clara. Se obviarán las definiciones pertinentes para un planteamiento preciso de la cuestión, y será el lector si quiere resolverla quien tendrá que procurarse estas definiciones y las consiguientes aclaraciones conceptuales.

Muchas veces la solución de un problema está en las preguntas que nos planteamos respecto al mismo, y en las aclaraciones conceptuales que precisamos para plantearlas.

Se trata de  completar el recorrido de un camino sin pasar más una vez por el mismo tramo.

En este gráfico de arriba no nos resultará difícil ver cómo podemos completar el camino sin pasar más de una vez por el mismo tramo.

En el siguiente, a poco que nos fijemos, nos daremos cuenta de que tal cosa resulta imposible.

Se trata de ejemplos sencillos que no entrañan dificultad alguna. El siguiente gráfico, sin embargo, nos llevaría más tiempo de analizar.

Pero aunque lo analizáramos siempre habría un nuevo gráfico que constituiría un nuevo reto. Desearíamos, si fuera posible, encontrar aquellas condiciones necesarias y suficientes para poder completar un camino sin pasar más de una vez por el mismo tramo. Y también, si es posible recorrerlo, cuál es el itinerario para completarlo.

Los humanos y los zombis

Llega un viajero a una isla en la que habitan dos tipos de personajes físicamente indistinguibles por el aspecto: los humanos y los zombis.

 Los primeros,  los humanos,  siempre dicen la verdad,  mientras que los segundos,  los zombis,  siempre mienten. Además,  todos ellos,  humanos y zombis,  responden con “va” y “da” para afirmar o negar,  sin que sepamos si “va” es “sí” o es “no”.

Necesitamos,  para funcionar en la isla,  obtener rápidamente  respuestas válidas,  por lo que lo primero que tenemos que hacer es averiguar si el individuo con el que hemos topado es humano o zombi. Asimismo,  debemos saber lo que quiere decir “va” o “da”.

 Con una pregunta simple ( que no implique 2 preguntas en una ) debemos averiguar el significado de las sílabas “va” y “da”,  y con otra pregunta,  simple también,  si el individuo que tenemos delante es zombi o es humano.

Están prohibidas preguntas del tipo: ¿ qué me dirías si yo te preguntara…..?. Se trata de una pregunta doble,  porque le estoy preguntando lo que me diría si yo le preguntara algo.

 Tenéis que reconocer,  amigos lectores,  la utilidad del pasatiempo,  porque mañana mismo es muy probable que os ocurra algo parecido,  y entonces ¿qué?.

Ian Stewart

Este escritor y divulgador de las matemáticas es, desde mi punto de vista, el mejor continuador de la línea de Gardner, si bien le ha imprimido a sus libros un estilo propio.

 El primer libro suyo que cayó en mis manos me lo regaló un amigo, y lleva por título “Conceptos de matemática moderna”. Fue editado por Alianza editorial en el año 77 y aún lo releo, de vez en cuando, porque siempre se aprende algo nuevo.

 Hace un par de veranos un hermano me propuso un problema que había leído en un libro de este autor, y que propongo aquí por su interés.

Se trata de un juego con los primeros 100 números naturales. El 1º jugador debe empezar retirando un número par entre esos 100 números. A continuación, el 2º jugador debe retirar un múltiplo o submúltiplo de ese número, y de nuevo el 1º jugador debe retirar un múltiplo o submúltiplo del número que retiró el anterior jugador. Pierde el jugador que no pueda retirar ningún número.

 Surge inmediatamente la pregunta de qué pasaría con n números. Este problema, de mayor envergadura, al parecer fue tratado por el físico y matemático Wigner.

Te sorprenderá

La teoría de la probabilidad es una de las ramas más fecundas de la matemática. Su origen se remonta al S.XVII, en que el caballero de Meré plantea a su amigo Blaise Pascal dos problemas sobre apuestas.

La definición axiomática de la probabilidad se debe al matemático ruso A.N. Kolmogorov , y que está en íntima conexión con la teoría de la medida.

Su desarrollo ha estado íntimamente ligado al de la estadística, y no hace falta que insistamos mucho en la importancia de esta rama de las matemáticas en nuestros días.

Uno de los problemas más sorprendentes que conozco sobre este tema es el siguiente:

Se trata de un juego entre 2 jugadores. Uno de ellos tiene 100 tarjetitas en blanco, y le dice al otro que va a apuntar en cada una de ellas un número diferente sin que su contricante lo vea. A continuación coloca las tarjetitas boca abajo y las baraja. El otro jugador debe ir levantando las tarjetitas, una a una, y mirando el número que ha apuntado el 1º jugador. En el momento en que estima que se encuentra ante el mayor número que ha apuntado el 1º jugador se planta.

Es decir: el 2º jugador debe acertar el mayor de los números que ha apuntado el 1º jugador, y para eso debe ir levantando tarjetita a tarjetita hasta que estima que se encuentra ante el mayor de los números.

Supongamos que levanto la 1ª tarjetita y veo un 9, la 2ª y veo un 7, la 3ª y veo un 23, y levanto la 4ª y veo un 1000, y decido plantarme. Si resulta que el número 1000 es el mayor de los números que ha apuntado el 1º jugador en las 100 tarjetitas yo gano el juego. Si no es así gana el 1º jugador.

La 1ª pregunta es si existe una estrategia que maximiza la probabilidad de acertar.

La 2ª pregunta es, en caso afirmativo, el valor de dicha probabilidad.

La 3ª y más importante es ésta:

Si el 1º jugador apuesta 30 euros por cada partida, ¿cuál es la máxima cantidad que deberíamos apostar nosotros para asegurarnos a la larga alguna ganancia ?.

Las respuestas a la 2ª y a la 3ª pregunta resultan verdaderamente sorprendentes, al menos para mí.

Lo resolveremos completamente más adelante, en otro artículo de este blog.

Martin Gardner

Tuve noticias de Martin Gardner hace muchos años, por medio de un amigo, cuyo padre estaba suscrito al Scientifican American. Por aquel entonces Gardner dirigía la sección de matemáticas de la revista, y mi amigo, puntualmente, me planteaba periódicamente aquellos desafíos que, si no recuerdo mal, venían resueltos en el próximo número. Todos eran problemas amenos e interesantes, y algunos no desprovistos de dificultad.

Posteriormente, compré algunos libros del autor, varios de los cuales recogían problemas propuestos en su etapa como director de dicha sección en la revista.

Su faceta como divulgador de la matemática, o en la matemática recreativa, si lo preferimos, es la más conocida, pero tiene libros de otra especie. Uno de ellos, muy divertido, es éste: ” La Ciencia: Lo bueno, lo malo y lo falso”. Otro, que me parece extraordinario es sobre la teoría de la relatividad, una de las mejores divulgaciones que he leído sobre el tema. En su prólogo nos dice que este libro se lo planteó como un reto.

La matemática recreativa, aparte de servir de estrategia para acercar la matemática a los profanos, puede ser una matemática de enjundia, y algunos de los matemáticos más grandes han dedicado su tiempo a ella. Hoy hay muchos que cultivan el género, algunos con notable éxito, pero Gardner fue el pionero de todos ellos.

Como homenaje a él propongo este problema, que propuso durante su paso por Scientifican American:

Unos exploradores se encuentran un mapa con unas instrucciones para encontrar un tesoro en una isla. En el mapa están señalados dos árboles A y B, y un pozo. Para encontrar el tesoro uno ha de situarse en el pozo, y caminar desde allí hasta el árbol A. A continuación debe girar en ángulo recto y andar la misma distancia que separaba el pozo de A. Allí debe colocar una estaca. A continuación debe volver al pozo, y caminar esta vez hasta el árbol B, para a continuación girar en ángulo recto hacia la izquierda y andar la misma distancia que separaba el pozo de este árbol. Allí debe colocar otra estaca. En el punto medio del segmento que separa las dos estacas está el tesoro.

Los exploradores se dirigieron a la isla, y encontraron los árboles A y B a los que hacía referencia el mapa, pero el pozo se habría secado y no había ni rastro de él. Entre los exploradores no había ningún matemático, y tuvieron que volverse desesperanzados.

¿Sería usted capaz de encontrar el tesoro al que hacía referencia el mapa?