Cada problema tiene una pequeña historia detrás, y sucede que una gran mayoría de veces se elude por motivo de espacio, con lo que se pierde lo más esencial del mismo, cual es el conjunto de vericuetos mentales que han conducido a la solución.
Esta es la historia de cómo una pregunta inicial, fruto de una observación ocasional, se transformó en un problema de mucho mayor alcance. Es la historia, en definitiva, de cómo ir planteando preguntas sucesivas para obtener respuestas.
En una ocasión, mi padre, con motivo de un sorteo de la primitiva me llamó la atención sobre lo frecuente que era que aparecieran 2 números seguidos. En realidad, se refería a lo frecuente que era que salieran al menos 2 números seguidos.
Podríamos preguntarnos por la probabilidad de que salgan exactamente 2 números seguidos, o por la probabilidad de que salgan al menos 3 números seguidos, o exactamente 4 números seguidos, etc.,etc.
La primitiva, como sabemos, es un sorteo en el que entre 49 números se sortean 6. Podríamos generalizar la cuestión, y considerar N números en vez de 49, y también que se sortean m números, en vez de 6. De esta forma, habríamos generalizado bastante la cuestión.
Ahora bien: a esas combinaciones de m números, a elegir entre los N números, desearíamos imponerle las condiciones que apeteciéramos. Querríamos que, por ejemplo, hubiera por un lado 2 números seguidos, por otro 3 números seguidos, por otro 7 números seguidos, por otro 5 números aislados, etc., etc.,etc….. ¿Cómo hacemos para formular esta pregunta intuitiva en términos precisos, en términos matemáticos, susceptible de ser estudiada y resuelta con toda la precisión?
Cualquier combinación de m números podemos suponerla ordenada de menor a mayor, puesto que 2 combinaciones son diferentes si y sólo si los elementos que la constituyen lo son, sin importar el orden en que se consideren.
Si en la combinación de m números, ordenada de menor a mayor, hay 2 números seguidos diremos que hay 1 secuencia de 2, si hay 3 números seguidos diremos que hay 1 secuencia de 3, si hay p números seguidos diremos que hay una secuencia de p números. Si hay 1 número aislado diremos que hay 1 secuencia de 1.
Si nos fijamos en cualquier combinación de m números, ordenada de menor a mayor, veremos que está formada por una secuencia s1, otra secuencia s2,…………., otra secuencia sn. En el caso particular de que estemos ante una combinación de m números seguidos habrá únicamente una secuencia de m números. En el caso particular de que estemos ante una combinación de m números aislados habrá m secuencias de 1 número cada una.
Pondremos un ejemplo: La combinación formada por los números (4, 6, 7, 9, 10, 11 ) está formada por una secuencia s1 de 1 número, el 4,; por una secuencia s2 de 2 números, el 6 y el 7, y por una secuencia s3 de 3 números, el 9, el 10 y el 11.
Llamaremos L1 a la longitud de la secuencia s1, o al número de números que componen dicha secuencia. De forma general, llamaremos Ln a la longitud de la secuencia sn.
Ahora, una vez formuladas con precisión las definiciones pertinentes, podemos formular de forma precisa una pregunta: ¿Cuántas combinaciones de m números se pueden elegir entre N números, de forma que estén formadas por secuencias de longitudes L1, L2,L3,……..,Ln?
De momento tenemos una pregunta bien formulada de ámbito general, lo cual es el requisito previo para encontrar la respuesta. Como veremos en otro artículo de este blog la notación que utilicemos también será fundamental, tanto para formular la pregunta correctamente como para encontrar la respuesta.
