Un saludo.

Lo que deriva de la comprobación no es la verdad, sino la convicción o la creencia en que se trata de una verdad. Sin comprobación, las verdades siguen siendo verdades, aunque no lo sepamos.
4)“definir” supone delimitar de forma precisa la naturaleza de lo definido.

No la naturaleza, sino el significado. No de lo definido, sino de la expresión que se define. En matemática las definiciones no son “esencialistas”, son nominales. Se definen expresiones, no conceptos. Claro que las definiciones dan lugar a conceptos, aunque éstos conllevan, directa o indirectamente,
un cierto significado de los términos primitivos, lo que hace que no sean cabalmente conceptos. Ver más adelante que los axiomas no definen, ni siquiera implícitamente, a los términos primitivos.
5) En este sentido, pues, los axiomas serían una consecuencia lógica de las definiciones y tendrían el carácter de teoremas.

Esto es, en mi opinión, falso. En la mayoría de los casos, de las definiciones de los términos de una proposición, no se puede deducir la proposición. Un diccionario hecho por Dios no contiene la totalidad del conocimiento, ni se aproxima a eso.
6) El sistema que empleó Euclides adolecía de dos defectos, a saber: haber intentado una definición explícita de conceptos “primitivos”, no reductibles a conceptos más simples.

No hay términos que sean primitivos de modo absoluto, por lo mismo que la simplicidad no permite definir en el conjunto de conceptos un orden total. Dada una teoría, se puede construir otra equivalente definiendo algunos términos primitivos y tomando como primitivos otros anteriormente definidos. Así como se puede definir “fuerza en función de “masa”, o al revés. La elección de los términos primitivos es más una cuestión técnica que dependiente de la idea imprecisa de “simplicidad” o “irreducibilidad”.
7) y proponer axiomas sobre conceptos previamente definidos.

Esto tampoco es un error de Euclides. A mi juicio, creer que esto es un error es cometer el error señalado en 5). Lo que es cierto es que Euclides no construyó un sistema axiomático en el sentido actual, con términos primitivos. No evitó la regresión al infinito mencionada en este artículo, porque, como bien dice este artículo, usó sin la crítica adecuada la idea de “evidente” (”por si mismo”, sobra).
y adopta una serie de conceptos “primitivos” que no define explícitamente.

Primitivos son los términos, no los conceptos. “Guelfo” no es un concepto, como muy bien lo muestra el artículo, aunque mostrar eso no haya sido intencional. Más que adoptar términos primitivos, lo que se hace es declarar cuáles son primitivos.
9) Relaciona estos conceptos mediante una serie de relaciones – axiomas -, y serán éstas las que constituirán una definición implícita de aquéllos.

Esto es un error muy difundido, y, a mi juicio, importante. La posibilidad de que exista más de un modelo muestra que los términos primitivos no quedan definidos, ni explícita ni implícitamente. ¿Qué es Gomy, el número 1 o el primer ladrillo?. Mejor que responder “ambos”, es responder “ninguno”. .
10) Podríamos decir que los axiomas no “definen” unos entes concretos, unos conceptos “primitivos” concretos, sino toda una serie de entes o de conceptos “primitivos”. Los axiomas no versan sobre nada concreto, sobre nada definido explícitamente, sino sobre una “vaguedad” de conceptos “primitivos” restringidos exclusivamente por las propiedades que los axiomas enuncien.
¿De qué estamos hablando entonces? No lo sabemos

Todo el párrafo confirma lo señalado en 9). No tiene sentido definir una serie de entes. Es extremadamente indeseable y artificial admitir por convención que un número como el 1 y un ladrillo como el primer ladrillo sean dos elementos de una serie de significados de un mismo término (Gomy) No es que no versan sobre nada concreto. No versan sobre nada, como lo sugiere la última frase de este párrafo que comento. Otro indicio de que se trata de una convención artificial e inadecuada, es el hecho de que un término definido (implícitamente) tendría un significado que jamás podría conocerse, porque siempre pueden descubrirse o inventarse nuevos modelos del sistema axiomático.
11) Si encontramos un modelo para nuestros axiomas entonces, y sólo entonces, podremos saber de qué hablamos y, eventualmente, verificar si los resultados son verdaderos.

No verificaríamos si los resultados son verdaderos, sino que lo son. Sería correcto decir “determinar si” los resultados son verdaderos, pero esta determinación es innecesaria, precisamente porque se trata de un modelo. Mejor que “resultados”, me parece “teoremas”.
12) 3º. Si dos “guelfos” son iguales y son los correspondientes de otros dos “guelfos” , éstos también son iguales.

Coincido con la idea de prescindir de símbolos para no ahuyentar lectores, pero evitaría esta expresión. Esta afirmación dice que dos guelfos pueden ser un guelfo, lo que es por lo menos confuso. Me parece mejor expresar la inyectividad mediante “ningún guelfo puede ser correspondiente de más de un guelfo”. También es chocante lo dicho más abajo,”Si dos ladrillos son el mismo ladrillo”.
13) En la versión de los axiomas con “guelfo” sustituida por “ladrillo”, 1) y 2) están permutados.
14) 5º Un conjunto al que pertenece el primer ladrillo y al que pertenece el ladrillo de encima cuando pertenece un ladrillo dado es el conjunto de los ladrillos.
Me parece que se entiende mucho mejor así: “Un conjunto al que pertenece el primer ladrillo y tal que todo ladrillo del conjunto tiene otro encima, es el conjunto de todos los ladrillos”.
Se podría hacer notar al lector que esto no es cierto por ejemplo para Q con el orden natural, porque falla la relación “siguiente de”. El lector común, llevado por la infortunada idea de que una recta es una sucesión de puntos, cree que todo punto de la recta real (y de la racional con más razón) tiene un siguiente. Un lector atento podría preguntarse por qué esto no caracteriza Q o R, y ésta es la respuesta.
15) es decir, la aritmética de números

Esa no es la aritmética, es la sucesión de naturales
16) La cuestión de si un sistema axiomático es verdadero o no, carece de sentido. Muy bien. Esto confirma lo señalado en 9).
17) La cuestión de si es verdadero o no – en el sentido de verificable en nuestro mundo -, depende de que el modelo se ajuste más o menos perfectamente a los axiomas.
¿En qué quedamos? Esa cuestión, como se dijo, no tiene sentido. Un sistema axiomático al que no se le han encontrado modelos no es verdadero, pero uno al que se le han encontrado tampoco. Es, simplemente, un sistema con modelo. Esto último garantiza la consistencia, no la verdad, como se dice en el artículo.
1 Puede ser que un modelo escogido, entre los muchos posibles, no sea el adecuado, y otro sí lo sea.
Si es un modelo, es adecuado en el sentido de que satisface los axiomas, y si no, no. Lo que puede ocurrir es que un candidato a modelo resulte no ser modelo. El universo real parece no ser un modelo de la geometría euclidiana. Si se quiso decir “adecuado para un propósito”, es otra cosa.
19) 1º Todo ladrillo tiene encima un ladrillo.

Debe decir “único ladrillo”, tal como en el 2) con guelfos
20) Sin embargo 1,2,3,4,5,6,7,8,8,9,10,11,12,13,14,…, no valdría, pues violaría el 3º axioma.

Violaría también el segundo, sobre la unicidad. Es decir, la correspondencia no sería una función, algo “peor” que no ser inyectiva.
21) Si fuera un axioma – pensaron – podemos cambiarlo por otro que diga otra cosa y no aparecerá contradicción alguna.

Que diga algo que 1) contradice al quinto axioma, y 2) que no implique una contradicción con otro axioma, no “otra cosa”. Las mismas condiciones para Si fuera un teorema, tarde o temprano tendría que aparecer alguna contradicción. Aunque para esto la 2) no es necesaria , mejor ponerla para que se entienda la idea de la sustitución.
22) Podemos elegir un axioma que diga que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela, o también otro que dijera que pasan infinitas paralelas.

O también 37.
23) Algo que existe no puede ser contradictorio, por el mero hecho de existir.

“Contradictorio” no es aplicable a cualquier objeto (”algo”). Es predicable de proposiciones o formas proposicionales. No tiene sentido decir que Madrid, por existir, no es contradictoria.
24) Luego, si encontramos un modelo para el nuevo sistema – con el V axioma modificado.

Modificado no de cualquier modo, sino como se dijo en 21).
25) un sistema es completo cuando cualquier enunciado sobre conceptos “primitivos”, o sobre conceptos definidos a partir de éstos, puede ser demostrada en el sistema, o, expresado de otra forma, cuando cualquier proposición sobre los conceptos del sistema es, o bien un axioma, o bien un teorema.

Si es un axioma, no puede ser demostrada. La otra forma de expresarlo contradice a la primera.
26) cualquier sistema axiomático suficientemente expresivo.

Lo de “suficientemente expresivo” es demasiado vago. “Que contenga la aritmética” me parece un poco mejor.

— Una vez señaladas las deficiencias de la definición antigua de axioma.

Faltan comillas para “axioma”
— un paradigma de modelo de conocimiento.

Paradigma es modelo. O paradigma, o modelo.
— es preciso hacer un paréntesis obligado.

Si es preciso es obligado. “Obligado” sobra.
— una es la que se utiliza cuando consultamos un diccionario:

Se utiliza al hacer un diccionario, no al consultarlo.
— el concepto definido se delimita en función de otros conceptos ya conocidos. (En los diccionarios).

No necesariamente conocidos. Que para entender la definición tengan que ser conocidos los términos que se usan, es otra cosa. Prefiero “se define” a “se delimita”. Esto último sugiere que pre-existe un significado difuso.
— es la llamada definición verbal.

Faltan comillas para “definición verbal”.
— todo les debe ser mostrado de forma que asocien un sonido a una imagen.

A veces no. Por ejemplo un niño aprende el significado de “dos” sin asociarle a esta palabra una imagen. Los niños aprenden el lenguaje por aproximaciones sucesivas, mediante el uso que escuchan. También cuando se les señala un objeto y simultáneamente se dice una palabra, pero esto puede considerarse un caso particular de lo anterior. Incluso niños de dos años aprenden mediante definiciones, aunque las definiciones no sean el modo más frecuente de aprender significados. (Un bosque es un lugar con muchos árboles).
— Esto, sin embargo, no debe restarle grandiosidad a su obra.

Se quiso decir que no le resta, o bien, que no debe entenderse que le resta, pero no que no debe restarle.
— “dos” e “iguales” también guardan su sentido habitual, a no ser que se especifique algo en contra.

¿Por qué “también”? . ¿Cómo “a no ser”? En ese axioma de hecho no se especifica algo en contra. Se confunde la idea general con la aplicación a este caso particular.
— Si sustituimos “guelfo” por ladrillo, “Gomy” por primer ladrillo, “corresponderse” por estar situado encima en la misma posición, “dos” por su sentido habitual, e “igual” por ser el mismo ladrillo, los axiomas quedarían así:

Faltan comillas para “primer ladrillo” y para todo lo demás que se sustituye. Se sustituye la palabra “guelfo” por la palabra “ladrillo”, pero la palbra “dos” por un sentido? Además de inconsistente, me parece innecesario.
— El motivo de haber elegido términos como “guelfo” o “Gomy” para designar a los conceptos primitivos es para aislar la mente del lector.

El motivo no es para. El motivo de haber elegido es, o bien la elección se hizo para.
—)será de esperar que asigne .

Es de esperar que asignará.
— Numerosos intentos, en este sentido, resultaron infructuosos, por lo que cada vez fue apareciendo más clara la idea de que en realidad se trataba de un axioma.

La claridad de la idea no se modificó. La idea fue pareciendo cada vez más probable. (Este matiz es muy poco importante).
— Luego, si encontramos un modelo para el nuevo sistema – con el V axioma modificado – esto significará que dicho axioma no era un teorema,.

“Esto significará que” está demás. Dicho axioma no es un teorema, no “no era”. El pasado no corresponde a entes intemporales, aunque se hable del sistema “anterior”.
— y bien pudiera ser que mañana se viera que el mundo real se adapta mejor a otro tipo de espacio.

Por consistencia con lo dicho inmediatamente antes, es mejor decir “a ciertos entes del mundo real”, aunque esta expresión no la entiendo muy bien.
— expresar de múltiples formas una idea – por lo general compleja.

No “por lo general compleja”, sino “si es compleja”.
— cuando es lógicamente no contradictorio, o lo que es lo mismo, cuando las proposiciones p y no p no pueden coexistir en el sistema .

No es apropiado “las” cuando “p” y “no p” son variables proposicionales, no constantes. Mejor “cuando dos proposiciones de la forma ´p´ y ´no p´ no coexisten en el sistema”.
— en la creencia de que esto era siempre posible – demostrarlo todo -.

“Siempre” está demás.
— habrá proposiciones, indecidibles, que no podrán ser demostradas en el sistema.

La primera coma está demás, y mejor agregar un “es decir” después de la segunda.
— como también demostró Emile Post.

¿Por qué “también”? ¿Quién más se menciona que demostró eso?
— Este tratamiento, obligado al analizar sistemas concretos, hacen.

Hace.
— siguientes requisitos: Una lista de las letras y demás símbolos a utilizar en S.

Una lista no es un requisito. Contener una lista, sí lo es.
— Una serie de reglas que establezcan qué complejos de signos son enunciados bien formados en S.

Me parece más claro y sencillo decir “conjuntos” o “combinaciones” que “complejos”.

Quizás te hayas dado cuenta exactamente 7 minutos más tarde: http://ernestosdc.wordpress.com/2007/11/20/la-critica-y-el-elogio/#comment-66. Aunque habrías rectificado. O no.

Quizás deberíamos empezar por no dudar de la falsa intencionalidad de las palabras del “otro”, limitándonos a analizar si lleva o no razón en lo que expone, omitiendo el ya clásico juicio de intenciones. ¿Qué opinaís ;-)?

Un saludo

En la sociedad española, creo que es, por desgracia, un valor vestigial. Antonio Machado resumió mejor que nadie, la situación cuando dijo aquello de “Nadie es más que nadie”. Esta colectivista frase, implementada con éxito enarrable en la Europa eslava y aledaños, describe magníficamente, en el caso español, el pretexto ideológico de una sociedad envidiosa, y el sectarismo de quien sólo sabe admirar en el seno de su tribu.

En cuanto al elogio, no sólo estoy de acuerdo en que se prodiga menos que la censura, sino que incluso la modestia me parece una virtud farisaica. Hasta el punto de que he decidido escribir un capítulo al respecto en mi propio blog.

Y me halaga porque yo, en cambio, no he seguido la pista de ellos. Aunque, bien pensado, esta tenaz persistencia en la burla sin argumentos no denota, probablemente, interés por lo que digan estos dos blogueros, sino instinto del escorpión por clavar el aguijón donde le parezca que puede hacer daño.

Pero las batallas que Greg libra son únicamente contra sus propios fantasmas, con lo que corre el peligro de hacerse daño nada más que a sí mismo. Para Rick, este hombre es, simplemente, un moscardón.